Las 4 operaciones fundamentales
Gradiente, divergencia, rotor y laplaciano son las herramientas del cálculo vectorial que aparecen constantemente en electromagnetismo. Esto explica qué hace cada una antes de que las veas en acción.
Gradiente
∇f escalar → vector
¿Qué hace?
Apunta hacia la dirección de mayor crecimiento de $f$. Su módulo $|\nabla f|$ es la tasa de cambio máxima en ese punto.
Intuición
Imagina el terreno como $f(x,y)$: el gradiente apunta cuesta arriba. Si quieres subir lo más rápido posible, camina en la dirección de $\nabla f$.
En electro: $\mathbf{E} = -\nabla V$
El campo eléctrico apunta hacia donde el potencial baja más rápido. El signo negativo hace que las cargas positivas vayan de alto a bajo potencial.
Dato útil
El gradiente es perpendicular a las superficies de nivel $f = \text{cte}$. Por eso $\mathbf{E}$ siempre es perpendicular a las equipotenciales.
Divergencia
∇·F vector → escalar
¿Qué hace?
Mide cuánto "emana" o "converge" el campo en un punto. Positivo donde hay fuentes, negativo donde hay sumideros, cero donde fluye sin brotar ni drenarse.
Intuición
Piensa en una fuente de agua: el agua que brota tiene divergencia positiva. El desagüe tiene divergencia negativa. Un río que fluye parejo tiene divergencia cero.
En electro: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$
La carga eléctrica es la fuente del campo. Donde hay carga positiva, $\mathbf{E}$ brota; donde hay carga negativa, $\mathbf{E}$ converge.
En electro: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
El campo magnético no tiene fuentes: no existen monopolos magnéticos. Las líneas de $\mathbf{B}$ siempre forman lazos cerrados, nunca emergen de un punto.
Rotor
∇×F vector → vector
¿Qué hace?
Mide la rotación local del campo. El vector resultante apunta en la dirección del eje de rotación (regla de la mano derecha); su módulo indica qué tan rápido rota.
Intuición
Imagina una ruedita con paletas colocada en el campo. Si el campo la hace girar, hay rotor. Si la arrastra sin hacerla girar, el rotor es cero.
En electro: $\nabla \times \mathbf{E} = 0$
El campo electrostático es irrotacional: $\oint \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = 0$ para cualquier curva cerrada. Esto garantiza que el potencial $V$ está bien definido.
En electro: $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$
La corriente es la "fuente de rotación" de $\mathbf{B}$ — es la ley de Ampère diferencial. Donde fluye corriente, el campo magnético circula en torno a ella.
Laplaciano
∇²f escalar → escalar
¿Qué hace?
Mide cuánto difiere $f$ de su promedio local. Si $\nabla^2 f > 0$, el valor en el punto está por debajo del promedio vecinal (fondo de un valle). Si $\nabla^2 f < 0$, está por encima (cima de una montaña).
Propiedad del promedio
Si $\nabla^2 f = 0$, el valor de $f$ en cualquier punto es exactamente el promedio sobre una esfera arbitraria alrededor. Los potenciales en regiones sin carga obedecen esto.
Unicidad de la solución
La solución a $\nabla^2 V = 0$ con condiciones de borde fijas es única. Si encuentras una función que satisface Laplace y los bordes, es la única solución posible.
Laplaciano vectorial
También existe $\nabla^2 \mathbf{F}$ aplicado componente a componente. En cartesianas: $\nabla^2 \mathbf{F} = (\nabla^2 F_x)\hat{x} + (\nabla^2 F_y)\hat{y} + (\nabla^2 F_z)\hat{z}$.
- El gradiente aparece desde Aux 4: $\mathbf{E} = -\nabla V$ relaciona campo y potencial.
- La divergencia aparece en Aux 2–3: la Ley de Gauss diferencial $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$ es la forma local del flujo.
- El rotor aparece en Aux 18–19: $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ es la Ley de Ampère diferencial.
- El laplaciano aparece en Aux 5–7: resolver $\nabla^2 V = 0$ con condiciones de borde da el potencial en conductores.