Aux 1 — Gases Ideales

📋 Temas que ejercita

Ley del gas ideal combinada con estequiometría: de gramos a moles a volumen
Ley de Dalton: presiones parciales y totales en mezclas
Mezcla de recipientes a distintas $P$ , $V$ y $T$ en un volumen común
Tabla de reacción y grado de avance $ξ$ ; identificación del reactivo limitante
Balance de ecuaciones químicas (redox incluidas)
Deducción de la ley barométrica desde la segunda ley de Newton
Descomposición parcial de un gas: incógnitas acopladas por Dalton
Conversión de unidades no-SI (Torr, psi, $^{\circ}$ F, ft $^{3}$ )

💡 Herramientas que hay que tener a mano

Elegir el $R$ correcto

$R = 0, 082 {atm·L·mol}^{- 1} K^{- 1}$ cuando $P$ va en atm y $V$ en litros; $R = 8, 314 {J·mol}^{- 1} K^{- 1}$ cuando todo va en SI. Casi todos los errores de estos problemas son de unidades, no de física.

Tabla de reacción

Filas: inicial, cambio, final. El cambio de cada especie es $ν_{i} ξ$ , con $ν_{i}$ positivo para productos y negativo para reactivos. El reactivo limitante es el que se agota con el $ξ$ más pequeño.

Mezclar recipientes

Cada recipiente aporta sus moles: se calcula $n_{i}$ por separado con sus propias $P_{i}$ , $V_{i}$ , $T_{i}$ , se suman, y luego se aplica $P V = n_{t} R T$ al volumen y temperatura finales. Las presiones no se suman directamente si los volúmenes o temperaturas difieren.

Después de una combustión

Recalcular los moles gaseosos con la tabla de reacción. Ojo con el agua: si el enunciado dice que condensa, sale de la fase gaseosa y deja de contribuir a la presión.

Barométrica desde Newton

Equilibrio de una rebanada de fluido de espesor $d z$ : $P_{z + d z} A + m g = P_{z} A$ . Se sustituye $m = ρ A d z$ y $ρ = P M / (R T)$ , se separan variables y se integra. La clave es no saltarse la sustitución de $ρ$ .

Aire seco

Su masa molar promedio es $\approx 29$ g/mol (≈79 % $N_{2}$ , ≈21 % $O_{2}$ ). Aparece en cualquier problema atmosférico que no dé el dato explícitamente.

📐 Fórmulas que se usan

Gas ideal y estequiometría

w

masa en gramos ·

M

masa molar. El puente entre la química (gramos) y la termodinámica (moles).

Ley de Dalton

Todo problema de mezcla de gases ideales se reduce a contar moles y repartir la presión total según las fracciones molares.

Balance de fuerzas en una columna de fluido

El punto de partida indicado por el enunciado del P4. Sustituir

ρ = P M / (R T)

es lo que convierte el balance mecánico en una ecuación diferencial separable.

Ley barométrica

Resultado de integrar la anterior con

T

g

constantes. El exponente es negativo: la presión cae con la altura.

Grado de avance de reacción

ξ

tiene unidades de moles y es común a todas las especies: por eso una sola variable describe el avance completo de la reacción.

Conversiones útiles

Necesarias para el P8, que mezcla Torr,

^{\circ}

F, ft

^{3}

y psi en un mismo enunciado.

✏️ Problemas

P1 Gas ideal — inflado de un airbag Resuelto en aula

Las bolsas de aire de automóviles se inflan con nitrógeno formado por la descomposición de azida de sodio (

N a N_{3}

). Calcular el volumen de

N_{2}

30^{\circ}

C y 760 Torr generado por la descomposición completa de 130 g de azida de sodio.
Datos:

M_{N a N_{3}} = 65

g/mol,

R = 0, 082

atm·L·mol

^{- 1}

^{- 1}

Estrategia

Escribir y balancear la descomposición: $N a N_{3} (s) \to N a (s) + N_{2} (g)$ . Ajustar los coeficientes hasta cerrar Na y N.
Convertir los 130 g a moles de azida con $n = w / M$ .
Usar la razón estequiométrica para pasar de moles de $N a N_{3}$ a moles de $N_{2}$ . "Descomposición completa" significa que no queda azida.
Convertir la temperatura a kelvin y la presión a atm (760 Torr = 1 atm) para que calcen con el $R$ dado.
Aplicar $V = n R T / P$ con los moles de $N_{2}$ — no con los de azida.

P2 Ley de Dalton — mezcla

N_{2}

O_{2}

en un tanque Resuelto en aula

En un proceso industrial se suministra una mezcla de nitrógeno y oxígeno en lugar de oxígeno puro. Calcular la presión parcial y total ejercida por los gases en un tanque de 120 L a

27^{\circ}

C con 10 moles de mezcla, sabiendo que la fracción molar de nitrógeno es 40 %.

Estrategia

Con $n_{t} = 10$ mol, $V = 120$ L y $T = 300$ K, obtener la presión total con $P = n_{t} R T / V$ .
De $x_{N_{2}} = 0, 40$ deducir $x_{O_{2}} = 0, 60$ (las fracciones molares suman 1).
Repartir la presión total: $p_{i} = x_{i} P$ . Verificar que $p_{N_{2}} + p_{O_{2}} = P$ .
Alternativa equivalente: calcular $n_{i} = x_{i} n_{t}$ y aplicar $p_{i} = n_{i} R T / V$ a cada gas por separado. Debe dar lo mismo — buen chequeo.

P3 Dalton + tabla de reacción — cámara de combustión C1 Primavera 2023

En una cámara cerrada de 50 L se descargan dos recipientes de acero: uno de 5 L con 2,08 mol de

N_{2}

a 293 K, y otro de 20 L con

O_{2}

a 303 K y 15 atm. Mezclados los gases, la cámara se mantiene a

25^{\circ}

C. Se añaden 57,1 g de isooctano

C_{8} H_{18}

(

M = 114, 2

g/mol), se enciende la mezcla, se quema totalmente el hidrocarburo y se enfría el sistema hasta

25^{\circ}

C. Toda el agua condensa y los gases se comportan idealmente.

La presión total y las presiones parciales en la mezcla inicial de gases.
La presión total y las presiones parciales del sistema después de la combustión.

Estrategia

Balancear la combustión: $C_{8} H_{18} (g) + \frac{25}{2} O_{2} (g) \to 8 C O_{2} (g) + 9 H_{2} O (g)$ . El enunciado la da sin ajustar — hacerlo es parte del problema.
(a) Contar moles: $n_{N_{2}}$ viene dado; $n_{O_{2}}$ sale de $P V / (R T)$ con los datos del segundo recipiente (20 L, 303 K, 15 atm).
Aplicar Dalton en el volumen final de 50 L a 298 K: $p_{i} = n_{i} R T / V$ , y sumar para la presión total. Las condiciones originales de cada recipiente ya no importan una vez conocidos los moles.
(b) Convertir los 57,1 g de isooctano a moles y armar la tabla de reacción con el grado de avance.
Verificar cuál es el limitante: comparar los moles disponibles de $O_{2}$ con los que exige la estequiometría. "Se quema totalmente el hidrocarburo" indica que el limitante es el isooctano, pero conviene confirmarlo.
Obtener los moles finales de cada especie. Descartar el agua de la fase gaseosa: condensó y no contribuye a la presión.
Recalcular presiones parciales y total con los moles gaseosos finales, en 50 L a 298 K.

P4 Ley barométrica Resuelto en aula

Demostrar que la distribución barométrica de un gas ideal sigue $P = P_{0} e^{- \frac{M g}{R T} (h - h_{0})}$ . Indicación: segunda ley de Newton.
Calcular la presión a 5000 m de altura, con $T_{0} = 288$ K a nivel del mar y suponiendo $T$ y $g$ constantes con la altura. El gas es aire seco.

Estrategia

(a) Aislar una rebanada de fluido de área $A$ y espesor $d z$ . Plantear el equilibrio de fuerzas: la presión desde abajo sostiene el peso más la presión desde arriba.
Escribir la masa de la rebanada como $ρ A d z$ y llegar a $d P = - ρ g d z$ .
Sustituir $ρ = P M / (R T)$ del gas ideal — este es el paso que introduce la física del gas.
Separar variables ( $d P / P = - \frac{M g}{R T} d z$ ) e integrar entre $(h_{0}, P_{0})$ y $(h, P)$ , usando que $T$ es constante.
(b) Reemplazar $M \approx 29$ g/mol (aire seco), $g = 9, 81$ m/s $^{2}$ , $T = 288$ K, $h - h_{0} = 5000$ m. Cuidar que $M$ vaya en kg/mol si se usa $R$ en J/(mol·K).

P5 Balance redox y grado de avance Resuelto en aula

Balancear $K M n O_{4} + H C l \to K C l + M n C l_{2} + C l_{2} + H_{2} O$ y proponer el cuadro de reacción para cada reactivo en función del avance $ξ$ .
Calcular el grado de avance cuando se agota el reactivo limitante, partiendo de 2 mol de $K M n O_{4}$ , 2 mol de HCl y 1 mol de KCl, y obtener los moles finales de KCl.

Estrategia

(a) Es una redox: identificar los cambios de estado de oxidación (Mn pasa de +7 a +2; Cl $^{-}$ se oxida a $C l_{2}$ ) y balancear por el método del ion-electrón o por tanteo sistemático.
Armar la tabla con tres filas: moles iniciales, cambio ( $ν_{i} ξ$ ) y moles finales. Los reactivos llevan $ν_{i}$ negativo.
(b) Para cada reactivo, calcular el $ξ$ que lo agota: $ξ_{i} = - n_{i}^{0} / ν_{i}$ . El limitante es el que da el menor valor.
Evaluar la fila de KCl en ese $ξ_{máx}$ . Ojo: el KCl aparece a la vez como producto y con 1 mol inicial, así que hay que sumar ambas contribuciones.

P6 Descomposición parcial del amoníaco Propuesto

Tras colocar 1,6 mol de amoníaco en un recipiente de 1600 cm

^{3}

25^{\circ}

C, se calienta hasta 500 K. A esa temperatura el

N H_{3}

se descompone parcialmente en

N_{2}

H_{2}

, alcanzando una presión medida de 4,85 MPa. Calcular el número de moles de cada componente a 500 K.

Estrategia

Balancear $2 N H_{3} \to N_{2} + 3 H_{2}$ y armar la tabla de reacción con $ξ$ desconocido.
Expresar los moles totales finales $n_{t} (ξ)$ sumando las tres filas. Notar que la reacción aumenta el número de moles gaseosos.
La presión medida da una segunda ecuación: $n_{t} = P V / (R T)$ a 500 K. Convertir 4,85 MPa y 1600 cm $^{3}$ a unidades consistentes.
Igualar ambas expresiones de $n_{t}$ , despejar $ξ$ , y evaluar cada fila de la tabla.
Chequeo: los moles de cada especie deben ser positivos y $ξ \leq 0, 8$ (el máximo si se descompusiera todo el $N H_{3}$ ).

P7 Mezcla butano–argón por composición molar Propuesto

Una mezcla de 5 % molar de butano y 95 % de argón se prepara dejando entrar butano gaseoso hasta llenar un cilindro previamente evacuado a 1 atm de presión. El cilindro de 40 dm

^{3}

se pesa. Calcular la masa de argón que da la composición deseada si la temperatura se mantiene a

25^{\circ}

C, y la presión total final de la mezcla. Considerar

M_{A r} = 39, 9

g/mol.

Estrategia

Del llenado inicial con butano solo (40 dm $^{3}$ , 1 atm, 298 K) obtener $n_{b u t a n o}$ con $P V = n R T$ .
Imponer $x_{b u t a n o} = 0, 05$ : eso fija $n_{t} = n_{b u t a n o} / 0, 05$ y por diferencia $n_{A r}$ .
Convertir a masa: $w_{A r} = n_{A r} M_{A r}$ .
Para la presión final, aplicar $P V = n_{t} R T$ al mismo volumen y temperatura. Atajo: como $V$ y $T$ no cambian, $P_{final} / P_{butano} = n_{t} / n_{b u t a n o} = 1 / 0, 05 = 20$ .

P8 Proceso isotérmico con unidades mezcladas Propuesto

En condiciones isotérmicas, calcular la diferencia de volumen en litros de un gas que se encuentra inicialmente a 1230 Torr y

248^{\circ}

F ocupando 70,63 ft

^{3}

, y que alcanza una presión de 29,31 psi. Indicación: puede asumirse gas ideal.

Estrategia

Convertir todo a un sistema único antes de tocar la física: presiones a atm, volumen a litros, temperatura a kelvin.
Notar que al ser isotérmico basta la ley de Boyle: $P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}$ . La temperatura no entra en el cálculo — el dato en $^{\circ}$ F es en buena parte una distracción.
Despejar $V_{2} = P_{1} V_{1} / P_{2}$ y calcular $Δ V = V_{2} - V_{1}$ .
Chequeo de signo: comparar ambas presiones en la misma unidad antes de concluir. Si la presión final resulta mayor que la inicial, el gas se comprime y $Δ V < 0$ ; si es menor, $Δ V > 0$ .

🎯 Estrategia general

✦ Cómo abordar este auxiliar

Primer paso siempre: convertir unidades y elegir el $R$ que calce. Hacerlo al principio evita rastrear el error después.
Segundo paso: contar moles. Casi todos estos problemas se reducen a "cuántos moles de cada cosa hay" y luego aplicar $P V = n R T$ una sola vez.
En mezclas: las presiones parciales sólo se suman si comparten $V$ y $T$ . Si vienen de recipientes distintos, sumar moles, no presiones.
Toda reacción química que aparezca hay que balancearla, aunque el enunciado la dé escrita: varios enunciados la entregan sin ajustar (P3, P5).
El grado de avance $ξ$ convierte un problema de varias incógnitas en uno de una sola. Vale la pena armar la tabla aunque parezca innecesario.
Si algo condensa, sale de la fase gaseosa. Es el detalle que más puntos cuesta en el P3.