Aux 3 — Primera Ley

📋 Temas que ejercita

$Δ U$ como función de estado frente a $Q$ y $W$ dependientes del camino
Lectura de trayectorias en un diagrama $P$ – $V$ y balance de energía por tramo
Trabajo reversible de un gas de Van der Waals: integración de $P (V)$
Trabajo irreversible: expansión rápida y expansión contra el vacío
Determinación de un parámetro ( $b$ ) a partir de un trabajo medido
Procesos isocórico, isotérmico e isobárico: $Q$ , $W$ y $Δ U$ en cada uno
Construcción y cierre de un ciclo en el diagrama $P$ – $V$
Aplicación a un sistema macroscópico (calentamiento de una sala)

💡 Herramientas que hay que tener a mano

Convenio de signos

En este curso $Δ U = Q - W$ , con $W > 0$ cuando el sistema produce trabajo (se expande) y $Q > 0$ cuando entra calor al sistema. Fijarlo antes de escribir la primera ecuación evita errores de signo en cadena.

$Δ U$ no depende del camino

Es la propiedad que resuelve el P1: si se conoce $Δ U$ por una trayectoria, vale para todas las demás entre los mismos dos estados. $Q$ y $W$ sí cambian de un camino a otro.

Reversible vs. irreversible

Reversible ⟶ $W = \int P_{sist} d V$ , usando la ecuación de estado. Irreversible rápido ⟶ $W = P_{op} Δ V$ con la presión externa. Contra el vacío ⟶ $P_{op} = 0$ , luego $W = 0$ .

Los tres procesos básicos

Isocórico: $W = 0$ , $Q = Δ U = n C_{V} Δ T$ . Isobárico: $W = P Δ V$ , $Q = Δ H = n C_{P} Δ T$ . Isotérmico (gas ideal): $Δ U = 0$ , $Q = W = n R T ln (V_{f} / V_{i})$ .

Cerrar un ciclo

Sobre un ciclo completo $Δ U = 0$ , luego $W_{neto} = Q_{neto}$ . Es el chequeo final de cualquier problema de ciclos: si no cierra, hay un error de signo en algún tramo.

Gas diatómico

${\bar{C}}_{V} = \frac{5}{2} R$ y ${\bar{C}}_{P} = \frac{7}{2} R$ , con $γ = 7 / 5$ . Se usa en el P3 y en el P5. Para monoatómico: $\frac{3}{2} R$ y $\frac{5}{2} R$ , $γ = 5 / 3$ .

📐 Fórmulas que se usan

Primera ley y dependencia del camino

La base del P1: se calcula

Δ U

por el camino conocido y se reutiliza en todos los demás.

Tres formas de calcular el trabajo

Cuál usar depende de cómo ocurre el proceso, no del estado inicial y final. Los tres casos del P2 corresponden exactamente a estas tres expresiones.

Trabajo reversible de un gas de Van der Waals

El primer término es el análogo del gas ideal con el volumen corregido por

n b

; el segundo es la contribución de las fuerzas atractivas. Con

a = b = 0

se recupera

n R T ln (V_{f} / V_{i})

Los tres procesos básicos

Todo el P3 se arma combinando estas tres filas. Vale la pena tenerlas escritas antes de empezar.

Cierre del ciclo

Consecuencia de que

U

sea función de estado. Es el chequeo de consistencia de cualquier problema de ciclos.

✏️ Problemas

P1 Trayectorias en el diagrama

P

–

V

Resuelto en aula

Un sistema se lleva del estado

a

b

por la trayectoria

a c b

: entran 90 J de calor al sistema y este efectúa 60 J de trabajo.

¿Cuánto calor entra por la trayectoria $a d b$ si el trabajo efectuado por el sistema es 15 J? Considerar que $U$ es independiente del camino y que $U_{a \Rightarrow b} = U_{b} - U_{a}$ .
Cuando el sistema regresa de $b$ a $a$ siguiendo la trayectoria curva, el valor absoluto del trabajo efectuado por el sistema es 35 J. ¿El sistema absorbe o desprende calor? ¿Cuánto?

Estrategia

Calcular $Δ U_{a \to b}$ por la trayectoria $a c b$ con $Δ U = Q - W$ . Ese número es el mismo para cualquier camino entre $a$ y $b$ .
(a) Aplicar la primera ley al camino $a d b$ con el mismo $Δ U$ y el $W$ dado, y despejar $Q$ .
(b) Para el retorno $b \to a$ : $Δ U_{b \to a} = - Δ U_{a \to b}$ .
Determinar el signo del trabajo de retorno: es una compresión (el sistema vuelve a menor volumen), así que $W < 0$ y vale $- 35$ J con el convenio del curso. El enunciado da sólo el valor absoluto — asignar el signo es parte del problema.
Despejar $Q$ y leer su signo: positivo significa que el sistema absorbe calor; negativo, que lo desprende.

P2 Trabajo reversible e irreversible de un gas de Van der Waals Resuelto en aula

Benceno gaseoso a

27^{\circ}

C se describe adecuadamente por

(P + \frac{a n^{2}}{V^{2}}) (V - n b) = n R T

. Encontrar las expresiones del trabajo mecánico

W

realizado por 1 mol al expandirse desde

V_{i} = 1

L hasta

V_{f} = 25

L en los casos:

La tasa de expansión es muy grande (rápida).
Estimar la constante $b$ si la tasa de expansión es despreciable, el proceso es isotérmico y el trabajo entre $V_{i}$ y $V_{f}$ es $W = 64, 807$ L·atm.
Encontrar $W$ para una expansión violenta contra el vacío.

Datos:

a = 18 L^{2} a t m / m o l^{2}

R = 0, 082 L a t m / (m o l K)

Estrategia

(a) "Muy rápida" significa que el sistema no alcanza el equilibrio: el trabajo se calcula con la presión de oposición constante, $W = P_{op} (V_{f} - V_{i})$ , donde $P_{op}$ es la presión externa (típicamente la presión final del gas).
(b) "Tasa despreciable" significa reversible: despejar $P$ de la ecuación de Van der Waals e integrar $\int_{V_{i}}^{V_{f}} P d V$ .
La integral tiene dos términos: $\int \frac{n R T}{V - n b} d V$ da un logaritmo, y $\int \frac{a n^{2}}{V^{2}} d V$ da la diferencia de recíprocos.
Igualar la expresión obtenida al valor dado (64,807 L·atm) y despejar $b$ . Es la única incógnita, pero aparece dentro del logaritmo: hay que resolver numéricamente o despejar exponenciando.
(c) Contra el vacío $P_{op} = 0$ , luego $W = 0$ sin importar la ecuación de estado ni cuánto se expanda el gas.
Comparar los tres resultados: reversible $>$ irreversible rápido $>$ contra el vacío. Ese orden debe cumplirse siempre.

P3 Ciclo isocórico–isotérmico–isobárico Resuelto en aula

0,5 mol de un gas ideal diatómico (

C_{V} = \frac{5}{2} R

) están inicialmente a 4,1 atm y 300 K. El gas sufre un calentamiento isocórico hasta duplicar su presión inicial, luego una expansión isotérmica hasta duplicar su volumen, y finalmente un enfriamiento isobárico hasta recuperar su estado inicial. Procesos cuasiestáticos.

Diagrama $P$ – $V$ .
Calcular $P$ , $V$ y $T$ en cada uno de los estados.
Calcular el trabajo neto del ciclo y el calor asociado al calentamiento isocórico.

Estrategia

(b) Estado 1: aplicar $P V = n R T$ con los datos dados para obtener $V_{1}$ .
Estado 2 (isocórico): $V_{2} = V_{1}$ y $P_{2} = 2 P_{1}$ . Por la ley de estado, $T_{2} = 2 T_{1}$ .
Estado 3 (isotérmico desde 2): $T_{3} = T_{2}$ y $V_{3} = 2 V_{2}$ , de donde $P_{3} = P_{2} / 2 = P_{1}$ . Verificar que este estado efectivamente conecta con el inicial por una isóbara — el ciclo debe cerrar.
(a) Dibujar: una vertical hacia arriba (isocórico), una hipérbola descendente (isotérmico) y una horizontal hacia la izquierda (isobárico).
(c) Trabajo por tramo: isocórico $W = 0$ ; isotérmico $W = n R T_{2} ln (V_{3} / V_{2})$ ; isobárico $W = P_{1} (V_{1} - V_{3})$ , negativo por ser compresión.
Sumar los tres para el trabajo neto. Como el ciclo recorre el diagrama en sentido antihorario, esperar $W_{neto} < 0$ .
Calor del tramo isocórico: $Q = Δ U = n C_{V} (T_{2} - T_{1})$ , con $W = 0$ .

P4 Sistema con presión dada por una función de

V

Propuesto

Un gas tiene presión

P = \frac{5 [b a r \cdot m^{3}]}{V} + 1, 5 [b a r]

, con

P

en bar y

V

en m

^{3}

. El sistema pasa de 0,15 m

^{3}

a 0,05 m

^{3}

y libera 45 kJ de calor.

Determinar el cambio de energía interna. Considerar $1 b a r \cdot m^{3} = 10^{5}$ J.
Si la presión fuese una presión constante $P^{*}$ , ¿cómo afecta esto al desarrollo? ¿A qué se asocia esta situación? Explicitar.

Estrategia

(a) Integrar $W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V$ con la $P (V)$ dada: el primer término da un logaritmo y el segundo un producto.
Cuidar los límites: el volumen disminuye, así que $W$ debe salir negativo (se hace trabajo sobre el sistema).
Convertir el trabajo de bar·m $^{3}$ a joules con el factor indicado por el enunciado.
El calor liberado significa $Q < 0$ : asignarle el signo antes de sustituir.
Aplicar $Δ U = Q - W$ con ambos signos ya fijados.
(b) Con $P^{*}$ constante la integral colapsa a $W = P^{*} Δ V$ , lo que corresponde a un proceso irreversible contra presión externa constante — o a un proceso isobárico cuasiestático. Discutir cuál de las dos lecturas aplica y qué las diferencia.

P5 Calentamiento de una sala de clases Propuesto

Una sala está inicialmente a

25^{\circ}

C y 1 atm. Hay 118 personas, cada una desprendiendo en promedio 125 W. Todos los objetos de la sala están perfectamente aislados y no absorben calor. La sala mide 20 × 20 × 5 m.

Cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura hasta $37^{\circ}$ C, suponiendo presión constante y aire como gas ideal diatómico con $C_{P} = \frac{7}{2} R$ .
Minutos necesarios para alcanzar esa temperatura.

Estrategia

Calcular el volumen de la sala y, con $P V = n R T$ en las condiciones iniciales, los moles de aire.
(a) A presión constante, $Q = Δ H = n {\bar{C}}_{P} Δ T$ con $Δ T = 12$ K.
Notar la sutileza: a $P$ constante y volumen fijo, parte del aire sale de la sala al calentarse. El enunciado pide ignorar esto y usar los moles iniciales.
(b) Potencia total $= 118 \times 125$ W. Dividir el calor por la potencia para obtener el tiempo en segundos y convertir a minutos.
Chequeo de orden de magnitud: el resultado debe dar unos pocos minutos — coherente con lo rápido que se carga el ambiente en una sala llena.

P6 Trabajo con una ecuación de estado tipo Van der Waals Propuesto

La ecuación de estado de un gas es

\bar{V} (P + \frac{10^{6} k P a m^{6} / k m o l^{2}}{{\bar{V}}^{2}}) = R T

, con

\bar{V}

en m

^{3}

/kmol y

P

en kPa. 0,5 kmol de este gas se expanden de 2 a 4 m

^{3}

a temperatura constante de 300 K. Determinar el trabajo en kJ efectuado durante el proceso.

Estrategia

Despejar $P$ de la ecuación dada: es una Van der Waals con $b = 0$ y $a = 10^{6}$ kPa·m $^{6}$ /kmol $^{2}$ .
Convertir los volúmenes totales a volúmenes molares dividiendo por 0,5 kmol, o bien trabajar con la forma extensiva de la ecuación desde el principio. Mantener una sola convención.
Integrar $W = \int P d V$ a $T$ constante: sale un logaritmo más un término en $1 / \bar{V}$ .
Verificar unidades: kPa·m $^{3}$ = kJ, así que el resultado sale directamente en kilojoules.
Comparar con el resultado que daría el gas ideal ( $n R T ln 2$ ): el término atractivo debe reducir el trabajo obtenido.

🎯 Estrategia general

✦ Cómo abordar este auxiliar

Antes de cualquier cálculo: escribir el convenio de signos y la primera ley en la forma que se va a usar. La mitad de los errores de este auxiliar son de signo.
Identificar siempre si el proceso es reversible o irreversible: decide si $W$ se calcula integrando $P_{sist} (V)$ o multiplicando por $P_{op}$ .
Para problemas de trayectorias, calcular primero $Δ U$ por el camino con datos completos y reutilizarlo en los demás.
En ciclos, tabular estado por estado ( $P$ , $V$ , $T$ ) antes de calcular energías. Y verificar que el ciclo cierre.
Chequeo final de todo ciclo: $\sum Δ U_{i} = 0$ . Si no da cero, hay un signo mal puesto.
$Δ U = n C_{V} Δ T$ y $Δ H = n C_{P} Δ T$ valen para gas ideal en cualquier proceso, no sólo a $V$ o $P$ constante. Ahorra mucho trabajo.