Auxiliar 10: Pre-control
Problemas integradores de tipo control que combinan Laplace, Poisson, condiciones de borde y el análisis completo de distribuciones de carga a partir de un potencial dado.
Temas que cubre
- Obtener $\mathbf{E}$ y $\rho$ a partir de un potencial $V(\mathbf{r})$ dado
- Verificar si $V$ satisface Laplace o Poisson en diferentes regiones
- Condiciones de borde en interfaces: continuidad de $V$ y discontinuidad de $E_n$
- Modelo del átomo de hidrógeno: distribución de carga nube electrónica
- Problemas de geometrías asimétricas con potencial conocido
Conceptos clave
De V a ρ
Dado $V$, se obtiene $\mathbf{E} = -\nabla V$ y luego $\rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E} = -\varepsilon_0 \nabla^2 V$. Esto permite "leer" la distribución de carga directamente del potencial.
Laplace vs Poisson por región
Un potencial puede satisfacer Laplace en algunas regiones (vacío) y Poisson en otras (donde hay carga). El Laplaciano discrimina automáticamente dónde hay carga.
Condiciones de borde
En una interfaz: el potencial $V$ es continuo siempre. La componente normal de $\mathbf{E}$ tiene una discontinuidad de $\sigma/\varepsilon_0$ si hay carga superficial.
Unicidad
La solución de Poisson/Laplace es única si se conocen las condiciones de borde. Esto justifica que cualquier $V$ que satisfaga la ecuación y las condiciones es la solución.
Fórmulas fundamentales
Qué hay que entender
- Si dan $V$: deriva para obtener $\mathbf{E}$, luego aplica divergencia para $\rho$. Identifica las regiones.
- Verifica condiciones de borde en todas las interfaces: $V$ continuo, $E_n$ con salto $\sigma/\varepsilon_0$.
- El potencial de un conductor es constante → el campo dentro es cero → $\rho$ interna es cero.
- Un potencial físicamente válido debe ser finito en todo punto (excepto en la posición exacta de una carga puntual).