Aux 10 — Pre-control

📋 Temas que cubre

Obtener $E$ y $ρ$ a partir de un potencial $V (r)$ dado
Verificar si $V$ satisface Laplace o Poisson en diferentes regiones
Condiciones de borde en interfaces: continuidad de $V$ y discontinuidad de $E_{n}$
Modelo del átomo de hidrógeno: distribución de carga nube electrónica
Problemas de geometrías asimétricas con potencial conocido

💡 Conceptos clave

De V a ρ

Dado $V$ , se obtiene $E = - \nabla V$ y luego $ρ = ε_{0} \nabla \cdot E = - ε_{0} \nabla^{2} V$ . Esto permite "leer" la distribución de carga directamente del potencial.

Laplace vs Poisson por región

Un potencial puede satisfacer Laplace en algunas regiones (vacío) y Poisson en otras (donde hay carga). El Laplaciano discrimina automáticamente dónde hay carga.

Condiciones de borde

En una interfaz: el potencial $V$ es continuo siempre. La componente normal de $E$ tiene una discontinuidad de $σ / ε_{0}$ si hay carga superficial.

Unicidad

La solución de Poisson/Laplace es única si se conocen las condiciones de borde. Esto justifica que cualquier $V$ que satisfaga la ecuación y las condiciones es la solución.

📐 Fórmulas fundamentales

Resumen: de V a todo

Esta cadena permite extraer toda la información física de la distribución de cargas a partir de la función potencial.

Condiciones de borde en interfaz

La componente tangencial de

E

siempre es continua. La normal salta en

σ / ε_{0}

Laplaciano en esféricas (simetría esférica)

Útil para potenciales de la forma

V (r)

. Si

V = A / r + B

, entonces

\nabla^{2} V = 0

para

r \neq 0

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia tipo control

Si dan $V$ : deriva para obtener $E$ , luego aplica divergencia para $ρ$ . Identifica las regiones.
Verifica condiciones de borde en todas las interfaces: $V$ continuo, $E_{n}$ con salto $σ / ε_{0}$ .
El potencial de un conductor es constante → el campo dentro es cero → $ρ$ interna es cero.
Un potencial físicamente válido debe ser finito en todo punto (excepto en la posición exacta de una carga puntual).

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Dipolos

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