Temario › Unidad 2
Potencial y conductores · Aux 4–9

Auxiliar 9: Método de Carga Imagen

Técnica elegante para resolver Laplace con conductores: se reemplaza el conductor por una "carga imagen" ficticia que reproduce las mismas condiciones de borde.

📋 Temas que cubre

  • Principio del método: sustitución del conductor por cargas imagen
  • Imagen de carga puntual frente a plano conductor infinito
  • Imagen de carga puntual frente a esfera conductora (a tierra)
  • Potencial y campo eléctrico resultantes
  • Fuerza sobre la carga real (interacción con su imagen)
  • Densidad de carga inducida en la superficie

💡 Conceptos clave

Idea central

Por el teorema de unicidad, si encontramos cualquier distribución de cargas que satisfaga las condiciones de borde ($V=0$ en el conductor), esa es la solución. La imagen es esa distribución.

Imagen en plano

Para una carga $+q$ a distancia $d$ de un plano conductor ($V=0$), la imagen es $-q$ a distancia $d$ al otro lado del plano. El campo en la región del conductor se calcula con ambas.

Imagen en esfera

Para una carga $q$ a distancia $s$ del centro de una esfera de radio $R$, la imagen está a $R^2/s$ del centro (dentro de la esfera) con carga $q' = -Rq/s$.

Fuerza de imagen

La carga real "siente" la fuerza de atracción de su imagen. Para el plano: $F = q^2/(4\pi\varepsilon_0 (2d)^2)$ atractiva hacia el plano.

📐 Fórmulas fundamentales

Imagen en plano conductor — posición y carga
El potencial en la región real ($z > 0$) es $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-}\right)$, donde $r_\pm$ son las distancias a $q$ y $q'$.
Imagen en esfera conductora (radio R, a tierra, carga q a distancia s)
La imagen siempre queda dentro de la esfera ($R^2/s < R$ si $s > R$). La condición $V=0$ en la esfera se verifica evaluando el potencial total.
Densidad de carga inducida en el plano
La densidad integra a $-q$ sobre todo el plano, como se espera por inducción total.

🎯 Qué hay que entender

✦ Clave del método imagen
  • La imagen solo es válida para calcular $V$ y $\mathbf{E}$ en la región física (fuera del conductor).
  • Dentro del conductor: $V = 0$ (o constante), $\mathbf{E} = 0$ — no uses la imagen allí.
  • La fuerza sobre la carga real se calcula como la interacción entre $q$ y $q'$ (ley de Coulomb).
  • Verifica siempre que tu solución satisface $V = 0$ en toda la superficie del conductor.
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