Potencial y conductores · Aux 4–9
Auxiliar 7: Conductores y Ecuación de Laplace
Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, esfera conductora en campo uniforme, e introducción a condensadores y capacitancia.
Temas que cubre
- Solución general de Laplace en coordenadas esféricas con polinomios de Legendre
- Esfera conductora puesta en un campo eléctrico uniforme externo
- Capacitancia: y su cálculo para geometrías simples
- Energía almacenada en un condensador
- Condensadores en serie y paralelo
Conceptos clave
Laplace en esfera
Con simetría azimutal, la solución general es . Los coeficientes se fijan con las condiciones de borde.
Esfera en campo uniforme
El campo uniforme impone lejos. La esfera (a ) distorsiona el campo: la solución combina el campo uniforme con un dipolo inducido.
Capacitancia
Mide cuánta carga puede acumular un sistema por unidad de voltaje. Depende solo de la geometría, no de ni individualmente. Unidad: Farad [F] = C/V.
Energía del condensador
La energía almacenada en el campo eléctrico es . Esta energía es la que se libera al descargar el condensador.
Fórmulas fundamentales
Esfera conductora (radio R, V=0) en campo uniforme E₀
El primer término es el campo uniforme; el segundo es el dipolo inducido. La densidad superficial: .
Capacitancia
Placas paralelas: · Cilíndrico: · Esférico: .
Energía almacenada
Equivalentemente: (energía almacenada en el campo eléctrico).
Combinación de condensadores
En serie: mismo , voltajes se suman. En paralelo: mismo , cargas se suman.
Qué hay que entender
✦ Resolver Laplace paso a paso
- Identifica la simetría (esférica, cilíndrica, planar) para elegir coordenadas.
- Escribe la solución general con coeficientes indeterminados.
- Aplica condición lejana: el potencial debe coincidir con el campo externo para .
- Aplica condición de borde en el conductor () para determinar los coeficientes restantes.