Temario › Unidad 2
Potencial y conductores · Aux 4–9

Auxiliar 7: Conductores y Ecuación de Laplace

Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, esfera conductora en campo uniforme, e introducción a condensadores y capacitancia.

📋 Temas que cubre

  • Solución general de Laplace en coordenadas esféricas con polinomios de Legendre
  • Esfera conductora puesta en un campo eléctrico uniforme externo $\mathbf{E}_0$
  • Capacitancia: $C = Q/\Delta V$ y su cálculo para geometrías simples
  • Energía almacenada en un condensador
  • Condensadores en serie y paralelo

💡 Conceptos clave

Laplace en esfera

Con simetría azimutal, la solución general es $V = \sum_\ell (A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)}) P_\ell(\cos\theta)$. Los coeficientes se fijan con las condiciones de borde.

Esfera en campo uniforme

El campo uniforme impone $V \to -E_0 r\cos\theta$ lejos. La esfera (a $V=0$) distorsiona el campo: la solución combina el campo uniforme con un dipolo inducido.

Capacitancia

Mide cuánta carga puede acumular un sistema por unidad de voltaje. Depende solo de la geometría, no de $Q$ ni $V$ individualmente. Unidad: Farad [F] = C/V.

Energía del condensador

La energía almacenada en el campo eléctrico es $U = \frac{1}{2}CV^2 = Q^2/(2C)$. Esta energía es la que se libera al descargar el condensador.

📐 Fórmulas fundamentales

Esfera conductora (radio R, V=0) en campo uniforme E₀
El primer término es el campo uniforme; el segundo es el dipolo inducido. La densidad superficial: $\sigma = 3\varepsilon_0 E_0\cos\theta$.
Capacitancia
Placas paralelas: $C = \varepsilon_0 A/d$ · Cilíndrico: $C = 2\pi\varepsilon_0 L/\ln(b/a)$ · Esférico: $C = 4\pi\varepsilon_0 ab/(b-a)$.
Energía almacenada
Equivalentemente: $U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV$ (energía almacenada en el campo eléctrico).
Combinación de condensadores
En serie: mismo $Q$, voltajes se suman. En paralelo: mismo $V$, cargas se suman.

🎯 Qué hay que entender

✦ Resolver Laplace paso a paso
  • Identifica la simetría (esférica, cilíndrica, planar) para elegir coordenadas.
  • Escribe la solución general con coeficientes indeterminados.
  • Aplica condición lejana: el potencial debe coincidir con el campo externo para $r\to\infty$.
  • Aplica condición de borde en el conductor ($V = V_0$) para determinar los coeficientes restantes.
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