Aux 14 — Dieléctricos II

📋 Temas que cubre

Condiciones de borde para $E$ y $D$ en interfaces dieléctricas
Continuidad de $E_{∥}$ y discontinuidad de $D_{⊥}$ (sin cargas libres)
Cilindros conductores rodeados de dieléctricos con distintas $ε_{r}$
Permitividad variable $ε = ε (r)$ : cálculo de $D$ y $E$
Densidades de carga de polarización en interfaces

💡 Conceptos clave

Continuidad de E tangencial

La componente de $E$ paralela a la interfaz siempre es continua: $E_{1 ∥} = E_{2 ∥}$ . Proviene de $\nabla \times E = 0$ (irrotacionalidad del campo estático).

D normal con carga libre

Si no hay carga libre en la interfaz: $D_{1 ⊥} = D_{2 ⊥}$ . Si hay $σ_{libre}$ : $(D_{2 ⊥} - D_{1 ⊥}) = σ_{libre}$ . Viene de Gauss para $D$ .

Refracción del campo

Al cruzar una interfaz, el campo cambia de dirección. La relación $tan θ_{1} / tan θ_{2} = ε_{2} / ε_{1}$ (ley de refracción dieléctrica) rige el ángulo de las líneas de campo.

Carga superficial de polarización

En la interfaz entre dos dieléctricos: $σ_{p} = P_{1 n} - P_{2 n} = ε_{0} (ε_{r 1} - 1) E_{1 n} - ε_{0} (ε_{r 2} - 1) E_{2 n}$ , usando que $D_{n}$ es continua.

📐 Fórmulas fundamentales

Condiciones de borde en interfaz (sin carga libre superficial)

En términos del campo

E

ε_{1} E_{1 ⊥} = ε_{2} E_{2 ⊥}

E_{1 ∥} = E_{2 ∥}

Con carga libre superficial σ_libre

El convenio es que

{\hat{n}}_{12}

apunta del medio 1 al medio 2.

Ley de refracción dieléctrica

θ_{i}

es el ángulo de

E

con la normal en el medio

i

. El campo se "dobla" más en el medio con mayor

ε

🎯 Qué hay que entender

✦ Sistemática para problemas multi-dieléctrico

Aplica Gauss para $D$ con la carga libre encerrada → obtén $D$ en cada región.
Divide por $ε_{i}$ de cada región para obtener $E_{i} = D / ε_{i}$ .
Calcula $P_{i} = ε_{0} χ_{e, i} E_{i}$ y luego las cargas de polarización en las interfaces.
Verifica condiciones de borde: $D_{⊥}$ continua (sin $σ_{libre}$ ), $E_{∥}$ continua siempre.

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