Auxiliar 14: Dieléctricos II
Condiciones de borde en interfaces entre distintos dieléctricos, sistemas con múltiples medios y permitividad variable. El tratamiento formal de las interfases es central para problemas reales.
Temas que cubre
- Condiciones de borde para $\mathbf{E}$ y $\mathbf{D}$ en interfaces dieléctricas
- Continuidad de $E_\parallel$ y discontinuidad de $D_\perp$ (sin cargas libres)
- Cilindros conductores rodeados de dieléctricos con distintas $\varepsilon_r$
- Permitividad variable $\varepsilon = \varepsilon(r)$: cálculo de $\mathbf{D}$ y $\mathbf{E}$
- Densidades de carga de polarización en interfaces
Conceptos clave
Continuidad de E tangencial
La componente de $\mathbf{E}$ paralela a la interfaz siempre es continua: $E_{1\parallel} = E_{2\parallel}$. Proviene de $\nabla\times\mathbf{E} = 0$ (irrotacionalidad del campo estático).
D normal con carga libre
Si no hay carga libre en la interfaz: $D_{1\perp} = D_{2\perp}$. Si hay $\sigma_{\text{libre}}$: $(D_{2\perp} - D_{1\perp}) = \sigma_{\text{libre}}$. Viene de Gauss para $\mathbf{D}$.
Refracción del campo
Al cruzar una interfaz, el campo cambia de dirección. La relación $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \varepsilon_2/\varepsilon_1$ (ley de refracción dieléctrica) rige el ángulo de las líneas de campo.
Carga superficial de polarización
En la interfaz entre dos dieléctricos: $\sigma_p = P_{1n} - P_{2n} = \varepsilon_0(\varepsilon_{r1}-1)E_{1n} - \varepsilon_0(\varepsilon_{r2}-1)E_{2n}$, usando que $D_{n}$ es continua.
Fórmulas fundamentales
Qué hay que entender
- Aplica Gauss para $\mathbf{D}$ con la carga libre encerrada → obtén $D$ en cada región.
- Divide por $\varepsilon_i$ de cada región para obtener $\mathbf{E}_i = \mathbf{D}/\varepsilon_i$.
- Calcula $\mathbf{P}_i = \varepsilon_0\chi_{e,i}\mathbf{E}_i$ y luego las cargas de polarización en las interfaces.
- Verifica condiciones de borde: $D_\perp$ continua (sin $\sigma_{\text{libre}}$), $E_\parallel$ continua siempre.