Aux 11 — Dipolos

📋 Temas que cubre

Momento dipolar eléctrico $p = q d$
Potencial y campo eléctrico del dipolo en zona lejana
Torque $τ = p \times E$ y energía $U = - p \cdot E$
Interacción entre dos dipolos
Esferas dieléctricas polarizadas: vector de polarización $P$
Cargas de polarización: $ρ_{p} = - \nabla \cdot P$ y $σ_{p} = P \cdot \hat{n}$

💡 Conceptos clave

Momento dipolar

$p = q d$ apunta de la carga negativa a la positiva. Para distribuciones continuas: $p = \int r^{'} ρ (r^{'}) d V^{'}$ . Unidades: C·m o Debye.

Potencial lejano del dipolo

Para $r ≫ d$ , el potencial decae como $1 / r^{2}$ (más rápido que el de carga puntual). El campo decae como $1 / r^{3}$ . La anisotropía angular distingue los polos.

Torque y energía

En un campo externo $E$ , el torque tiende a alinear el dipolo con el campo. La energía es mínima cuando $p ∥ E$ (configuración estable).

Polarización P

$P$ = momento dipolar por unidad de volumen. Genera cargas de polarización $ρ_{p} = - \nabla \cdot P$ y $σ_{p} = P \cdot \hat{n}$ , que se tratan igual que cargas reales.

📐 Fórmulas fundamentales

Potencial del dipolo (zona lejana)

θ

es el ángulo entre

p

y el vector de posición

r

. En el plano ecuatorial (

θ = 90 °

V = 0

Campo eléctrico del dipolo

En esféricas:

E_{r} = \frac{2 p cos θ}{4 π ε_{0} r^{3}}

E_{θ} = \frac{p sin θ}{4 π ε_{0} r^{3}}

Torque y energía en campo externo

La fuerza sobre el dipolo en campo no uniforme es

F = \nabla (p \cdot E)

Cargas de polarización

\hat{n}

apunta hacia afuera del dieléctrico. Estas cargas aparecen en el interior y la superficie cuando la polarización no es uniforme.

🎯 Qué hay que entender

✦ Conexión dipolo–dieléctrico

Un dieléctrico polarizado es un conjunto de dipolos microscópicos: $P$ es su promedio macroscópico.
Si $P$ es uniforme: $ρ_{p} = 0$ en el volumen, pero $σ_{p} \neq 0$ en la superficie.
El campo total de un dieléctrico polarizado = campo generado por $ρ_{p}$ y $σ_{p}$ en el vacío.
La esfera uniformemente polarizada: campo interno constante $E = - P / (3 ε_{0})$ .

← Anterior

Pre-control

Condensadores con Dieléctricos

Auxiliar 11: Dipolos