Temario › Unidad 3
Pre-control y Dipolos · Aux 10–11

Auxiliar 11: Dipolos

El dipolo eléctrico es el bloque fundamental para entender la polarización de la materia. Su potencial y campo tienen una geometría característica que aparece en todas las moléculas polares y dieléctricos.

📋 Temas que cubre

  • Momento dipolar eléctrico $\mathbf{p} = q\mathbf{d}$
  • Potencial y campo eléctrico del dipolo en zona lejana
  • Torque $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}$ y energía $U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$
  • Interacción entre dos dipolos
  • Esferas dieléctricas polarizadas: vector de polarización $\mathbf{P}$
  • Cargas de polarización: $\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ y $\sigma_p = \mathbf{P}\cdot\hat{n}$

💡 Conceptos clave

Momento dipolar

$\mathbf{p} = q\mathbf{d}$ apunta de la carga negativa a la positiva. Para distribuciones continuas: $\mathbf{p} = \int \mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\,dV'$. Unidades: C·m o Debye.

Potencial lejano del dipolo

Para $r \gg d$, el potencial decae como $1/r^2$ (más rápido que el de carga puntual). El campo decae como $1/r^3$. La anisotropía angular distingue los polos.

Torque y energía

En un campo externo $\mathbf{E}$, el torque tiende a alinear el dipolo con el campo. La energía es mínima cuando $\mathbf{p} \parallel \mathbf{E}$ (configuración estable).

Polarización P

$\mathbf{P}$ = momento dipolar por unidad de volumen. Genera cargas de polarización $\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ y $\sigma_p = \mathbf{P}\cdot\hat{n}$, que se tratan igual que cargas reales.

📐 Fórmulas fundamentales

Potencial del dipolo (zona lejana)
$\theta$ es el ángulo entre $\mathbf{p}$ y el vector de posición $\mathbf{r}$. En el plano ecuatorial ($\theta = 90°$), $V = 0$.
Campo eléctrico del dipolo
En esféricas: $E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$ y $E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$.
Torque y energía en campo externo
La fuerza sobre el dipolo en campo no uniforme es $\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})$.
Cargas de polarización
$\hat{n}$ apunta hacia afuera del dieléctrico. Estas cargas aparecen en el interior y la superficie cuando la polarización no es uniforme.

🎯 Qué hay que entender

✦ Conexión dipolo–dieléctrico
  • Un dieléctrico polarizado es un conjunto de dipolos microscópicos: $\mathbf{P}$ es su promedio macroscópico.
  • Si $\mathbf{P}$ es uniforme: $\rho_p = 0$ en el volumen, pero $\sigma_p \neq 0$ en la superficie.
  • El campo total de un dieléctrico polarizado = campo generado por $\rho_p$ y $\sigma_p$ en el vacío.
  • La esfera uniformemente polarizada: campo interno constante $\mathbf{E} = -\mathbf{P}/(3\varepsilon_0)$.
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