Aux 12 — Condensadores

📋 Temas que cubre

Capacitancia con dieléctrico: $C = ε_{r} C_{0}$
Energía almacenada: $U = Q^{2} / (2 C) = \frac{1}{2} C V^{2}$
Condensador con dieléctrico parcialmente insertado
Fuerza sobre el dieléctrico como derivada de la energía
Condensadores en serie y paralelo con dieléctricos distintos

💡 Conceptos clave

Efecto del dieléctrico

El dieléctrico se polariza y sus cargas superficiales reducen el campo interno efectivo. Esto permite almacenar más carga al mismo voltaje, aumentando $C$ por un factor $ε_{r} > 1$ .

A carga fija vs voltaje fijo

Si se inserta el dieléctrico a $Q$ fija: $V$ disminuye, $C$ aumenta, $U$ disminuye. Si se inserta a $V$ fijo: $Q$ aumenta, $C$ aumenta, $U$ aumenta. La batería aporta o recibe energía.

Dieléctrico parcialmente insertado

El condensador se modela como dos condensadores en paralelo: uno con dieléctrico ( $ε_{r}$ ) y uno sin él. La fuerza sobre el dieléctrico surge del gradiente de energía.

Fuerza = −dU/dx

La fuerza sobre el dieléctrico es $F = - d U / d x$ a carga constante, o $F = + d U / d x$ a voltaje constante (incluyendo energía de la fuente). En ambos casos el dieléctrico es atraído hacia dentro.

📐 Fórmulas fundamentales

Capacitancia con dieléctrico

ε_{r} = ε / ε_{0}

es la permitividad relativa del material. Para geometrías cilíndricas o esféricas, se reemplaza

ε_{0}

por

ε = ε_{r} ε_{0}

en la fórmula correspondiente.

Energía almacenada

Equivalentemente:

U = \frac{ε}{2} \int E^{2} d V

(densidad de energía

u = \frac{1}{2} ε E^{2}

Dieléctrico parcialmente insertado (a voltaje V fijo)

x longitud insertada · b ancho de las placas · L largo total. La fuerza es positiva (entra el dieléctrico).

🎯 Qué hay que entender

✦ Cuándo usar qué expresión de energía

A carga constante ( $Q$ fija): $U = Q^{2} / (2 C)$ → la energía disminuye al insertar el dieléctrico → fuerza hacia adentro.
A voltaje constante ( $V$ fijo): $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ → la energía aumenta, pero la batería hace trabajo extra que más que compensa.
En ambos casos la fuerza resultante atrae el dieléctrico hacia el interior del condensador.
Para calcular la fuerza: derivar $U$ respecto a la posición del dieléctrico (con cuidado del signo y qué se mantiene constante).

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Auxiliar 12: Condensadores con Dieléctricos