Auxiliar 12: Condensadores con Dieléctricos
Cómo los materiales dieléctricos modifican la capacitancia, la energía almacenada y las fuerzas en un condensador. Casos de inserción parcial y geometrías mixtas.
Temas que cubre
- Capacitancia con dieléctrico: $C = \varepsilon_r C_0$
- Energía almacenada: $U = Q^2/(2C) = \frac{1}{2}CV^2$
- Condensador con dieléctrico parcialmente insertado
- Fuerza sobre el dieléctrico como derivada de la energía
- Condensadores en serie y paralelo con dieléctricos distintos
Conceptos clave
Efecto del dieléctrico
El dieléctrico se polariza y sus cargas superficiales reducen el campo interno efectivo. Esto permite almacenar más carga al mismo voltaje, aumentando $C$ por un factor $\varepsilon_r > 1$.
A carga fija vs voltaje fijo
Si se inserta el dieléctrico a $Q$ fija: $V$ disminuye, $C$ aumenta, $U$ disminuye. Si se inserta a $V$ fijo: $Q$ aumenta, $C$ aumenta, $U$ aumenta. La batería aporta o recibe energía.
Dieléctrico parcialmente insertado
El condensador se modela como dos condensadores en paralelo: uno con dieléctrico ($\varepsilon_r$) y uno sin él. La fuerza sobre el dieléctrico surge del gradiente de energía.
Fuerza = −dU/dx
La fuerza sobre el dieléctrico es $F = -dU/dx$ a carga constante, o $F = +dU/dx$ a voltaje constante (incluyendo energía de la fuente). En ambos casos el dieléctrico es atraído hacia dentro.
Fórmulas fundamentales
x longitud insertada · b ancho de las placas · L largo total. La fuerza es positiva (entra el dieléctrico).
Qué hay que entender
- A carga constante ($Q$ fija): $U = Q^2/(2C)$ → la energía disminuye al insertar el dieléctrico → fuerza hacia adentro.
- A voltaje constante ($V$ fijo): $U = \frac{1}{2}CV^2$ → la energía aumenta, pero la batería hace trabajo extra que más que compensa.
- En ambos casos la fuerza resultante atrae el dieléctrico hacia el interior del condensador.
- Para calcular la fuerza: derivar $U$ respecto a la posición del dieléctrico (con cuidado del signo y qué se mantiene constante).