Aux 3 — Ley de Gauss Parte 2

📋 Temas que cubre

Esferas macizas con cavidades internas
Cascarones esféricos concéntricos con distintas cargas
Cilindros infinitos con densidades de carga que varían con $r$
Planos infinitos cargados (conductor y no conductor)
Superposición para construir geometrías complejas

💡 Conceptos clave

Esfera con cavidad

Se trata como superposición de una esfera maciza menos una esfera maciza en la región de la cavidad. El campo en la cavidad de una distribución uniforme es constante.

Densidad variable $ρ (r)$

Si $ρ$ depende de $r$ , la carga encerrada se obtiene integrando: $Q_{enc} = \int_{0}^{r} ρ (r^{'}) 4 π r^{' 2} d r^{'}$ . Gauss sigue aplicando si hay simetría esférica.

Plano infinito conductor

El campo sale perpendicular a ambas caras. Para un plano conductor con densidad $σ$ , el campo a cada lado es $E = σ / (2 ε_{0})$ , resultando en $σ / ε_{0}$ total.

Múltiples regiones

En problemas con varias capas, se aplica Gauss por separado en cada región, acumulando la carga encerrada conforme crece el radio de la superficie gaussiana.

📐 Fórmulas fundamentales

Carga encerrada con densidad variable

Para simetría esférica con

ρ = ρ (r)

. Análogamente, para simetría cilíndrica:

Q_{enc} = \int_{0}^{r} ρ (r^{'}) 2 π r^{'} L d r^{'}

Campo de plano infinito (no conductor, σ total)

Para un conductor, la carga se distribuye en superficies y el campo exterior es

σ / ε_{0}

(con

E = 0

dentro).

Superposición — esfera con cavidad

Si la cavidad es esférica y desplazada del centro, el campo interior resulta ser uniforme y proporcional al vector de desplazamiento entre centros.

🎯 Qué hay que entender

✦ Claves para problemas multi-región

Define claramente cada región y su límite antes de calcular.
Para cada región, escoge una superficie gaussiana concéntrica e integra solo la carga interior.
El campo debe ser continuo en regiones sin carga superficial.
En interfaces con $σ \neq 0$ , el campo tiene una discontinuidad de $σ / ε_{0}$ .
Verifica que tu resultado $E (r)$ sea continuo donde no hay carga superficial.

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