Temario › Unidad 2
Potencial y conductores · Aux 4–9

Auxiliar 5: Potencial Eléctrico y Conductores

Introducción a las ecuaciones de Poisson y Laplace, y primeros encuentros con conductores: inducción de cargas, energía potencial y conductores como superficies equipotenciales.

📋 Temas que cubre

  • Ecuación de Poisson: ∇2V=−ρ/ε0
  • Ecuación de Laplace: ∇2V=0 (en regiones sin carga)
  • Conductores: V constante en todo el volumen
  • Carga inducida en superficies conductoras
  • Energía potencial U=qV de una carga en un campo externo

💡 Conceptos clave

Ecuación de Poisson

Es la versión diferencial de toda la electrostática: combina E=−∇V con ∇⋅E=ρ/ε0. Resolver Poisson nos da V en todo el espacio.

Ecuación de Laplace

Caso especial de Poisson cuando ρ=0. Sus soluciones son llamadas funciones armónicas y satisfacen el principio del valor medio: V no tiene máximos ni mínimos locales.

Conductor = equipotencial

En equilibrio, E=0 dentro del conductor, por lo que ∇V=0 y V es constante. Toda la carga libre se redistribuye en la superficie.

Inducción de carga

Una carga externa polariza el conductor: la cara más cercana acumula carga opuesta y la lejana carga del mismo signo, manteniendo V constante en el conductor.

📐 Fórmulas fundamentales

Ecuación de Poisson
Relación fundamental entre el potencial y la distribución de carga. Con condiciones de borde adecuadas, determina V únicamente (teorema de unicidad).
Ecuación de Laplace
En coordenadas esféricas con simetría azimutal: V(r,θ)=∑ℓ(Aℓrℓ+Bℓ/rℓ+1)Pℓ(cosθ).
Energía potencial de una carga
Trabajo necesario para traer la carga q desde infinito hasta r. La fuerza es F=−∇U=qE.

🎯 Qué hay que entender

✦ Poisson vs Laplace
  • Poisson se usa donde hay carga: ρ≠0 (interior de un volumen cargado).
  • Laplace se usa donde no hay carga libre: el espacio vacío entre conductores.
  • En un conductor en equilibrio: E=0 dentro, V = constante, ρ=0 en el interior.
  • Las condiciones de borde (V dado en las superficies) son lo que determina la solución única de Laplace.
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