Temario › Unidad 2
Potencial y conductores · Aux 4–9

Auxiliar 5: Potencial Eléctrico y Conductores

Introducción a las ecuaciones de Poisson y Laplace, y primeros encuentros con conductores: inducción de cargas, energía potencial y conductores como superficies equipotenciales.

📋 Temas que cubre

  • Ecuación de Poisson: $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$
  • Ecuación de Laplace: $\nabla^2 V = 0$ (en regiones sin carga)
  • Conductores: $V$ constante en todo el volumen
  • Carga inducida en superficies conductoras
  • Energía potencial $U = qV$ de una carga en un campo externo

💡 Conceptos clave

Ecuación de Poisson

Es la versión diferencial de toda la electrostática: combina $\mathbf{E} = -\nabla V$ con $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$. Resolver Poisson nos da $V$ en todo el espacio.

Ecuación de Laplace

Caso especial de Poisson cuando $\rho = 0$. Sus soluciones son llamadas funciones armónicas y satisfacen el principio del valor medio: $V$ no tiene máximos ni mínimos locales.

Conductor = equipotencial

En equilibrio, $\mathbf{E} = 0$ dentro del conductor, por lo que $\nabla V = 0$ y $V$ es constante. Toda la carga libre se redistribuye en la superficie.

Inducción de carga

Una carga externa polariza el conductor: la cara más cercana acumula carga opuesta y la lejana carga del mismo signo, manteniendo $V$ constante en el conductor.

📐 Fórmulas fundamentales

Ecuación de Poisson
Relación fundamental entre el potencial y la distribución de carga. Con condiciones de borde adecuadas, determina $V$ únicamente (teorema de unicidad).
Ecuación de Laplace
En coordenadas esféricas con simetría azimutal: $V(r,\theta) = \sum_\ell (A_\ell r^\ell + B_\ell/r^{\ell+1})\,P_\ell(\cos\theta)$.
Energía potencial de una carga
Trabajo necesario para traer la carga $q$ desde infinito hasta $\mathbf{r}$. La fuerza es $\mathbf{F} = -\nabla U = q\mathbf{E}$.

🎯 Qué hay que entender

✦ Poisson vs Laplace
  • Poisson se usa donde hay carga: $\rho \neq 0$ (interior de un volumen cargado).
  • Laplace se usa donde no hay carga libre: el espacio vacío entre conductores.
  • En un conductor en equilibrio: $\mathbf{E} = 0$ dentro, $V$ = constante, $\rho = 0$ en el interior.
  • Las condiciones de borde ($V$ dado en las superficies) son lo que determina la solución única de Laplace.
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