Aux 17 — Fuerza de Lorentz

📋 Temas que cubre

Fuerza magnética sobre carga puntual: $\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$
Fuerza de Lorentz completa: $\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$
Fuerza sobre cable conductor en campo magnético: $\vec{F} = \int I d \vec{ℓ} \times \vec{B}$
Generalización a distribuciones superficiales ( $\vec{K}$ ) y volumétricas ( $\vec{J}$ )
Ley de Biot-Savart: campo magnético de hilo, superficie y volumen de corriente
Campo magnético de cable infinito: $B = μ_{0} I / (2 π r)$
Fuerza entre cables paralelos con corriente

💡 Conceptos clave

Fuerza magnética

Solo actúa sobre cargas en movimiento. Es siempre perpendicular a $\vec{v}$ y a $\vec{B}$ , por lo que no realiza trabajo. Determina la dirección de la trayectoria (movimiento circular) sin cambiar la rapidez.

Fuerza sobre corriente

Una corriente $I$ en un tramo $d \vec{ℓ}$ inmerso en campo $\vec{B}$ siente $d \vec{F} = I d \vec{ℓ} \times \vec{B}$ . Para distribuciones: reemplazar $I d \vec{ℓ}$ por $\vec{K} d S$ o $\vec{J} d V$ .

Biot-Savart

Análogo magnético de la ley de Coulomb: cada elemento de corriente $I d {\vec{ℓ}}^{'}$ contribuye a $\vec{B}$ con un campo proporcional a $μ_{0} / (4 π)$ e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Cable infinito

Por Biot-Savart (o Ampère), un cable infinito con corriente $I$ genera $B = μ_{0} I / (2 π r)$ en dirección azimutal. Cables paralelos con corrientes iguales se atraen; con corrientes opuestas se repelen.

📐 Fórmulas fundamentales

Fuerza de Lorentz

La fuerza magnética

{\vec{F}}_{mag} = q \vec{v} \times \vec{B}

es perpendicular a

\vec{v}

, por lo que no realiza trabajo. La fuerza de Lorentz suma además el término eléctrico

q \vec{E}

Fuerza sobre distribuciones de corriente

Para un cable: integrar

I d \vec{ℓ} \times \vec{B}

a lo largo del trayecto. Para una lámina de corriente superficial

\vec{K}

: integrar sobre la superficie. Para corriente volumétrica

\vec{J}

: integrar sobre el volumen.

Ley de Biot-Savart — hilo

\vec{r}

es el punto de campo,

{\vec{r}}^{'}

es el punto fuente sobre el cable. El factor

(\vec{r} - {\vec{r}}^{'}) / | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}

equivale al versor

{\hat{r}}_{12} / r_{12}^{2}

de la ley de Coulomb.

Ley de Biot-Savart — superficial y volumétrica

La misma estructura: reemplazar

I d {\vec{ℓ}}^{'}

por

\vec{K} ({\vec{r}}^{'}) d S^{'}

para corrientes superficiales o por

\vec{J} ({\vec{r}}^{'}) d V^{'}

para corrientes volumétricas.

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de fuerza magnética

Identificar el tipo de fuente de corriente (hilo, plano, volumen) y calcular $\vec{B}$ por Biot-Savart o Ampère (si hay simetría).
Para la fuerza sobre un cable finito en el campo de otro, integrar $I d \vec{ℓ} \times \vec{B}$ a lo largo del cable finito.
En el anillo giratorio: la corriente equivalente es $I = λ v = λ R ω$ ; la fuerza magnética sobre cada elemento $d ℓ$ del anillo da una componente radial que genera tensión.
La regla de la mano derecha determina la dirección de $\vec{B}$ y del producto cruz $\vec{v} \times \vec{B}$ .
Cables paralelos: misma dirección de corriente → atracción; corrientes opuestas → repulsión. La fuerza por unidad de largo es $F / ℓ = μ_{0} I_{0} I_{1} / (2 π x)$ .

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