Aux 22 — Faraday-Lenz II

📋 Temas que cubre

Fem inducida por movimiento: carrito conductor que penetra una región con campo magnético uniforme $\vec{B} = B_0\hat{z}$
Corriente inducida $I = \mathcal{E}/R$ y sentido determinado por la ley de Lenz
Fuerza de frenado magnético $\vec{F} = I\vec{l}\times\vec{B}$ y ecuación de movimiento del carrito
Velocidad exponencialmente decreciente: $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$ con $\tau = mR/(B_0^2 l^2)$
Inductancia mutua $M$: relación entre flujo inducido y corriente fuente ($\Phi_2 = M I_1$)
Autoinductancia $L$ y EDO de circuito RL con fem motriz y autoinducida
Campo eléctrico inducido dentro y fuera de un solenoide largo con corriente variable $I(t) = I_0\sin(\omega t)$
Formas diferencial e integral de Faraday: $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$ y $\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\partial\Phi/\partial t$

💡 Conceptos clave

Fem motriz por movimiento

Cuando un conductor de largo $l$ se mueve con velocidad $v$ dentro de un campo $\vec{B}$ perpendicular, la fem inducida es $\mathcal{E} = Blv$. El flujo aumenta como $\Phi = B_0 l x$, de modo que $\mathcal{E} = -d\Phi/dt = -B_0 l \dot{x}$. El signo negativo (Lenz) indica que la corriente se opone al aumento del flujo.

Frenado magnético

La corriente inducida $I = B_0 lv/R$ en presencia del campo produce una fuerza de freno $F = -B_0^2 l^2 v / R$ que se opone al movimiento. Esto lleva a una EDO de primer orden cuya solución es una caída exponencial de la velocidad.

Inductancia mutua

Cuando el campo $\vec{B}$ del carrito es producido por un circuito externo con corriente $I_0$, el flujo a través del carrito es proporcional a la corriente: $\Phi = M I_0$. La constante de proporcionalidad $M$ depende solo de la geometría y en este caso crece con la distancia penetrada $x$.

Circuito RL con autoinductancia

Al incluir una bobina de autoinductancia $L$ en serie con la resistencia $R$, la fem total es $\mathcal{E}_\text{total} = \mathcal{E}_\text{motriz} - L\,dI/dt$. Esto da una EDO de primer orden para $I(t)$ que combina el término motriz $B_0 l v(t)$ con el término inductivo.

Campo eléctrico inducido en solenoide

Un solenoide con corriente variable genera un campo $\vec{B}(t)$ variable que induce un campo eléctrico $\vec{E}$ circulante, incluso en regiones sin corriente. Por simetría cilíndrica, $\vec{E}$ es azimutal ($\hat{\phi}$). Dentro del solenoide $E \propto r$; fuera, $E \propto 1/r$.

Ley de Lenz y conservación de energía

El signo negativo en $\mathcal{E} = -d\Phi/dt$ no es arbitrario: garantiza que la corriente inducida genere un campo que se opone al cambio que la originó. Esto es consistente con la conservación de energía: la energía cinética del carrito se disipa en la resistencia $R$.

📐 Fórmulas fundamentales

Ley de Faraday-Lenz — formas integral y diferencial

La fem inducida en un circuito cerrado es la tasa de cambio negativa del flujo magnético. La forma diferencial es la tercera ecuación de Maxwell: un campo $\vec{B}$ variable en el tiempo genera un campo $\vec{E}$ rotacional. Las dos formas son equivalentes por el teorema de Stokes.

Corriente inducida y fuerza de frenado

Para el carrito de altura $l$ moviéndose con velocidad $v$ dentro del campo $\vec{B} = B_0\hat{z}$: la fem es $\mathcal{E} = B_0 l v$, la corriente inducida es $I = B_0 l v/R$ y la fuerza de freno sobre el conductor es proporcional a $v$. La ecuación de movimiento $m\dot{v} = -B_0^2 l^2 v/R$ da la solución exponencial.

Inductancia mutua y autoinductancia

La inductancia mutua $M$ relaciona el flujo en el circuito 2 con la corriente del circuito 1: $\Phi_2 = M I_1$. Para el carrito penetrando una distancia $x$, el flujo es $\Phi = B_0 l x = M I_0$, por lo que $M = B_0 l x / I_0$. La autoinductancia $L$ relaciona el flujo propio con la corriente propia: $\Phi = L I$.

Campo eléctrico inducido por solenoide

Para un solenoide largo de radio $b$ con $n$ vueltas por unidad de longitud y corriente $I(t) = I_0\sin(\omega t)$, el campo magnético interior es $\vec{B} = \mu_0 n I(t)\hat{z}$. Aplicando Faraday en forma integral con un camino circular de radio $r$ se obtiene el campo $\vec{E}$ azimutal en ambas regiones: crece linealmente con $r$ dentro y cae como $1/r$ fuera.

EDO de circuito RL con fem motriz

Al incluir autoinductancia $L$ en serie con $R$, la corriente satisface una EDO de primer orden. La fem motriz $B_0 l v(t)$ actúa como fuente y el término $L\,dI/dt$ representa la oposición inductiva. Para $v(t) = at$ (aceleración constante), la fem motriz es lineal en $t$ y la solución de la EDO es la superposición de la respuesta homogénea (exponencial decreciente) y la particular (lineal en $t$).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de inducción

Identificar qué cambia: ¿varía el área del circuito (conductor móvil) o varía $\vec{B}$ (solenoide con corriente alterna)?
Calcular el flujo $\Phi = \iint \vec{B}\cdot d\vec{S}$ antes de derivar. Para el carrito: $\Phi = B_0 l x$, así $\mathcal{E} = -B_0 l \dot{x} = -B_0 l v$.
Aplicar la ley de Lenz para el sentido: si el flujo (en $\hat{z}$) aumenta al avanzar el carrito, la corriente inducida genera un campo opuesto, es decir, circula en sentido antihorario visto desde $+\hat{z}$.
Para el campo inducido en el solenoide: usar el camino de Faraday circular coaxial al eje. Dentro ($r < b$): $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = E \cdot 2\pi r = -\dot{B}\pi r^2$. Fuera ($r > b$): el área que aporta flujo está limitada por $b$, así que $E \cdot 2\pi r = -\dot{B}\pi b^2$.
Para circuitos con $L$: escribir el balance de voltaje (Kirchhoff): $\mathcal{E}_\text{motriz} = RI + L\,dI/dt$. Con $v(t) = at$ la fuente es $B_0 l a t$ y la EDO es lineal de primer orden con coeficientes constantes.
La inductancia mutua $M = \Phi_\text{inducido}/I_\text{fuente}$ puede obtenerse directamente del flujo geométrico: $M = B_0 l x / I_0$. Nota que $M$ crece con $x$, lo que implica $\mathcal{E}_2 = -M \dot{I}_1 - \dot{M} I_1$ si ambos varían.
La solución $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$ con $\tau = mR/(B_0^2 l^2)$ se obtiene de $m\dot{v} = -(B_0^2 l^2/R)v$, que es separable. Verificar unidades: $[B^2 l^2 / R] = \text{kg/s}$.

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