Aux 22 — Faraday-Lenz II

📋 Temas que cubre

Fem inducida por movimiento: carrito conductor que penetra una región con campo magnético uniforme $\vec{B} = B_{0} \hat{z}$
Corriente inducida $I = ℰ︀ / R$ y sentido determinado por la ley de Lenz
Fuerza de frenado magnético $\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B}$ y ecuación de movimiento del carrito
Velocidad exponencialmente decreciente: $v (t) = v_{0} e^{- t / τ}$ con $τ = m R / (B_{0}^{2} l^{2})$
Inductancia mutua $M$ : relación entre flujo inducido y corriente fuente ( $Φ_{2} = M I_{1}$ )
Autoinductancia $L$ y EDO de circuito RL con fem motriz y autoinducida
Campo eléctrico inducido dentro y fuera de un solenoide largo con corriente variable $I (t) = I_{0} sin (ω t)$
Formas diferencial e integral de Faraday: $\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B} / \partial t$ y $\oint_{Γ} \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \partial Φ / \partial t$

💡 Conceptos clave

Fem motriz por movimiento

Cuando un conductor de largo $l$ se mueve con velocidad $v$ dentro de un campo $\vec{B}$ perpendicular, la fem inducida es $ℰ︀ = B l v$ . El flujo aumenta como $Φ = B_{0} l x$ , de modo que $ℰ︀ = - d Φ / d t = - B_{0} l \dot{x}$ . El signo negativo (Lenz) indica que la corriente se opone al aumento del flujo.

Frenado magnético

La corriente inducida $I = B_{0} l v / R$ en presencia del campo produce una fuerza de freno $F = - B_{0}^{2} l^{2} v / R$ que se opone al movimiento. Esto lleva a una EDO de primer orden cuya solución es una caída exponencial de la velocidad.

Inductancia mutua

Cuando el campo $\vec{B}$ del carrito es producido por un circuito externo con corriente $I_{0}$ , el flujo a través del carrito es proporcional a la corriente: $Φ = M I_{0}$ . La constante de proporcionalidad $M$ depende solo de la geometría y en este caso crece con la distancia penetrada $x$ .

Circuito RL con autoinductancia

Al incluir una bobina de autoinductancia $L$ en serie con la resistencia $R$ , la fem total es ${ℰ︀}_{total} = {ℰ︀}_{motriz} - L d I / d t$ . Esto da una EDO de primer orden para $I (t)$ que combina el término motriz $B_{0} l v (t)$ con el término inductivo.

Campo eléctrico inducido en solenoide

Un solenoide con corriente variable genera un campo $\vec{B} (t)$ variable que induce un campo eléctrico $\vec{E}$ circulante, incluso en regiones sin corriente. Por simetría cilíndrica, $\vec{E}$ es azimutal ( $\hat{ϕ}$ ). Dentro del solenoide $E \propto r$ ; fuera, $E \propto 1 / r$ .

Ley de Lenz y conservación de energía

El signo negativo en $ℰ︀ = - d Φ / d t$ no es arbitrario: garantiza que la corriente inducida genere un campo que se opone al cambio que la originó. Esto es consistente con la conservación de energía: la energía cinética del carrito se disipa en la resistencia $R$ .

📐 Fórmulas fundamentales

Ley de Faraday-Lenz — formas integral y diferencial

La fem inducida en un circuito cerrado es la tasa de cambio negativa del flujo magnético. La forma diferencial es la tercera ecuación de Maxwell: un campo

\vec{B}

variable en el tiempo genera un campo

\vec{E}

rotacional. Las dos formas son equivalentes por el teorema de Stokes.

Corriente inducida y fuerza de frenado

Para el carrito de altura

l

moviéndose con velocidad

v

dentro del campo

\vec{B} = B_{0} \hat{z}

: la fem es

ℰ︀ = B_{0} l v

, la corriente inducida es

I = B_{0} l v / R

y la fuerza de freno sobre el conductor es proporcional a

v

. La ecuación de movimiento

m \dot{v} = - B_{0}^{2} l^{2} v / R

da la solución exponencial.

Inductancia mutua y autoinductancia

La inductancia mutua

M

relaciona el flujo en el circuito 2 con la corriente del circuito 1:

Φ_{2} = M I_{1}

. Para el carrito penetrando una distancia

x

, el flujo es

Φ = B_{0} l x = M I_{0}

, por lo que

M = B_{0} l x / I_{0}

. La autoinductancia

L

relaciona el flujo propio con la corriente propia:

Φ = L I

Campo eléctrico inducido por solenoide

Para un solenoide largo de radio

b

con

n

vueltas por unidad de longitud y corriente

I (t) = I_{0} sin (ω t)

, el campo magnético interior es

\vec{B} = μ_{0} n I (t) \hat{z}

. Aplicando Faraday en forma integral con un camino circular de radio

r

se obtiene el campo

\vec{E}

azimutal en ambas regiones: crece linealmente con

r

dentro y cae como

1 / r

fuera.

EDO de circuito RL con fem motriz

Al incluir autoinductancia

L

en serie con

R

, la corriente satisface una EDO de primer orden. La fem motriz

B_{0} l v (t)

actúa como fuente y el término

L d I / d t

representa la oposición inductiva. Para

v (t) = a t

(aceleración constante), la fem motriz es lineal en

t

y la solución de la EDO es la superposición de la respuesta homogénea (exponencial decreciente) y la particular (lineal en

t

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de inducción

Identificar qué cambia: ¿varía el área del circuito (conductor móvil) o varía $\vec{B}$ (solenoide con corriente alterna)?
Calcular el flujo $Φ = \iint \vec{B} \cdot d \vec{S}$ antes de derivar. Para el carrito: $Φ = B_{0} l x$ , así $ℰ︀ = - B_{0} l \dot{x} = - B_{0} l v$ .
Aplicar la ley de Lenz para el sentido: si el flujo (en $\hat{z}$ ) aumenta al avanzar el carrito, la corriente inducida genera un campo opuesto, es decir, circula en sentido antihorario visto desde $+ \hat{z}$ .
Para el campo inducido en el solenoide: usar el camino de Faraday circular coaxial al eje. Dentro ( $r < b$ ): $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = E \cdot 2 π r = - \dot{B} π r^{2}$ . Fuera ( $r > b$ ): el área que aporta flujo está limitada por $b$ , así que $E \cdot 2 π r = - \dot{B} π b^{2}$ .
Para circuitos con $L$ : escribir el balance de voltaje (Kirchhoff): ${ℰ︀}_{motriz} = R I + L d I / d t$ . Con $v (t) = a t$ la fuente es $B_{0} l a t$ y la EDO es lineal de primer orden con coeficientes constantes.
La inductancia mutua $M = Φ_{inducido} / I_{fuente}$ puede obtenerse directamente del flujo geométrico: $M = B_{0} l x / I_{0}$ . Nota que $M$ crece con $x$ , lo que implica ${ℰ︀}_{2} = - M {\dot{I}}_{1} - \dot{M} I_{1}$ si ambos varían.
La solución $v (t) = v_{0} e^{- t / τ}$ con $τ = m R / (B_{0}^{2} l^{2})$ se obtiene de $m \dot{v} = - (B_{0}^{2} l^{2} / R) v$ , que es separable. Verificar unidades: $[B^{2} l^{2} / R] = kg/s$ .

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