Aux 20 — Fuerzas sobre una carga puntual

📋 Temas que cubre

Fuerza magnética sobre una carga puntual: ${\vec{F}}_{mag} = q (\vec{v} \times \vec{B})$
Fuerza de Lorentz completa: $\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$
Selector de velocidades: condición de equilibrio entre fuerza eléctrica y magnética
Movimiento circular en campo magnético uniforme y radio de ciclotrón
Movimiento helicoidal: descomposición de la velocidad en componente paralela y perpendicular a $\vec{B}$
Fuerza sobre cables y distribuciones de corriente en campo magnético: $\vec{F} = \int I d \vec{ℓ} \times \vec{B}$
Generalización a densidades superficiales $\vec{K}$ y volumétricas $\vec{J}$

💡 Conceptos clave

Selector de velocidades

Con $\vec{E}$ y $\vec{B}$ perpendiculares entre sí y perpendiculares a $\vec{v}$ , la fuerza neta se anula solo cuando $v = E_{0} / B_{0}$ . Partículas más lentas o más rápidas se desvían. El resultado es independiente de la masa y la carga de la partícula.

Radio de ciclotrón

En campo $\vec{B}$ uniforme, la componente de velocidad perpendicular al campo produce movimiento circular con radio $r = m v_{⊥} / (| q | B)$ y frecuencia de ciclotrón $ω_{c} = | q | B / m$ . La componente paralela a $\vec{B}$ no cambia.

Movimiento helicoidal

Si la velocidad inicial tiene componente paralela a $\vec{B}$ , esta no es afectada por la fuerza magnética. La partícula describe una hélice: giro circular en el plano perpendicular a $\vec{B}$ combinado con traslación uniforme a lo largo de $\vec{B}$ .

Fuerza sobre corrientes

La fuerza de Lorentz sobre portadores de carga en un cable se integra para obtener $\vec{F} = \int I d \vec{ℓ} \times \vec{B}$ . Para distribuciones continuas: $\vec{F} = \iint \vec{K} \times \vec{B} d S$ (superficial) y $\vec{F} = ∭ \vec{J} \times \vec{B} d V$ (volumétrica).

📐 Fórmulas fundamentales

Fuerza de Lorentz

La fuerza total sobre una carga

q

en presencia de campo eléctrico y magnético. La fuerza magnética

q \vec{v} \times \vec{B}

es siempre perpendicular a

\vec{v}

, por lo que no realiza trabajo sobre la carga y no modifica su rapidez.

Condición del selector de velocidades

Para que la fuerza neta sea cero, la fuerza eléctrica y la magnética deben cancelarse. Con

\vec{E} = - E_{0} \hat{z}

\vec{B} = B_{0} \hat{y}

, una carga con velocidad

v \hat{x}

experimenta

{\vec{F}}_{mag} = q v B_{0} \hat{z}

, que cancela

{\vec{F}}_{elec} = - q E_{0} \hat{z}

cuando

v = E_{0} / B_{0}

Radio de ciclotrón y frecuencia angular

La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta:

| q | v_{⊥} B = m v_{⊥}^{2} / r

. El radio de ciclotrón

r

depende del momento

m v_{⊥}

y del producto

| q | B

. La frecuencia

ω_{c} = | q | B / m

es independiente de la velocidad (isocrona).

Fuerza sobre distribuciones de corriente

Se obtiene integrando la fuerza de Lorentz sobre todos los portadores. Para un cable la integral es sobre la longitud; para distribuciones superficiales y volumétricas se integra

\vec{K} \times \vec{B}

\vec{J} \times \vec{B}

respectivamente.

Distancia recorrida en

\hat{z}

al penetrar una región magnética

Una carga que entra con velocidad

v

a un ángulo

θ

respecto a

\vec{B}

(apuntando en

\hat{z}

) describe un arco circular en el plano perpendicular a

\vec{B}

. La penetración máxima en

\hat{z}

antes de salir de la región es el diámetro del arco proyectado:

2 r sin θ = 2 (m v sin θ) / (| q | B)

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de fuerza de Lorentz

Identificar los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ presentes y la carga de la partícula (signo incluido).
Calcular $\vec{v} \times \vec{B}$ usando el producto vectorial con regla de la mano derecha; recordar que si $q < 0$ el sentido de la fuerza se invierte.
En el selector de velocidades, la condición $v_{sel} = E_{0} / B_{0}$ es universal: no depende de $m$ ni de $q$ . Para $v < v_{sel}$ predomina la fuerza eléctrica (la partícula se desvía en el sentido de $\vec{E}$ ).
Para movimiento en campo $\vec{B}$ puro, descomponer $\vec{v}$ en componente paralela $v_{∥} = v cos θ$ (no afectada) y perpendicular $v_{⊥} = v sin θ$ (produce el giro).
El radio de ciclotrón $r = m v_{⊥} / (| q | B)$ : aumenta con la masa y la velocidad, disminuye con la carga y el campo.
Para fuerzas sobre cables, verificar la orientación de $d \vec{ℓ}$ (sentido de la corriente) y aplicar la regla de la mano derecha para $d \vec{ℓ} \times \vec{B}$ .
La fuerza magnética no hace trabajo: la energía cinética de la partícula no cambia en campo $\vec{B}$ puro.

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