Temario › Unidad 6
Magnetismo · Aux 17–25

Auxiliar 20: Fuerzas sobre una carga puntual

La fuerza de Lorentz $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$ describe cómo los campos eléctrico y magnético actúan simultáneamente sobre una carga. Cuando los campos se equilibran se obtiene un selector de velocidades; cuando solo actúa el campo magnético, la carga describe movimiento circular o helicoidal con radio de ciclotrón $r = mv_\perp/(|q|B)$.

📋 Temas que cubre

  • Fuerza magnética sobre una carga puntual: $\vec{F}_\text{mag} = q(\vec{v}\times\vec{B})$
  • Fuerza de Lorentz completa: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$
  • Selector de velocidades: condición de equilibrio entre fuerza eléctrica y magnética
  • Movimiento circular en campo magnético uniforme y radio de ciclotrón
  • Movimiento helicoidal: descomposición de la velocidad en componente paralela y perpendicular a $\vec{B}$
  • Fuerza sobre cables y distribuciones de corriente en campo magnético: $\vec{F} = \int Id\vec{\ell}\times\vec{B}$
  • Generalización a densidades superficiales $\vec{K}$ y volumétricas $\vec{J}$

💡 Conceptos clave

Selector de velocidades

Con $\vec{E}$ y $\vec{B}$ perpendiculares entre sí y perpendiculares a $\vec{v}$, la fuerza neta se anula solo cuando $v = E_0/B_0$. Partículas más lentas o más rápidas se desvían. El resultado es independiente de la masa y la carga de la partícula.

Radio de ciclotrón

En campo $\vec{B}$ uniforme, la componente de velocidad perpendicular al campo produce movimiento circular con radio $r = mv_\perp/(|q|B)$ y frecuencia de ciclotrón $\omega_c = |q|B/m$. La componente paralela a $\vec{B}$ no cambia.

Movimiento helicoidal

Si la velocidad inicial tiene componente paralela a $\vec{B}$, esta no es afectada por la fuerza magnética. La partícula describe una hélice: giro circular en el plano perpendicular a $\vec{B}$ combinado con traslación uniforme a lo largo de $\vec{B}$.

Fuerza sobre corrientes

La fuerza de Lorentz sobre portadores de carga en un cable se integra para obtener $\vec{F} = \int Id\vec{\ell}\times\vec{B}$. Para distribuciones continuas: $\vec{F} = \iint\vec{K}\times\vec{B}\,dS$ (superficial) y $\vec{F} = \iiint\vec{J}\times\vec{B}\,dV$ (volumétrica).

📐 Fórmulas fundamentales

Fuerza de Lorentz
La fuerza total sobre una carga $q$ en presencia de campo eléctrico y magnético. La fuerza magnética $q\vec{v}\times\vec{B}$ es siempre perpendicular a $\vec{v}$, por lo que no realiza trabajo sobre la carga y no modifica su rapidez.
Condición del selector de velocidades
Para que la fuerza neta sea cero, la fuerza eléctrica y la magnética deben cancelarse. Con $\vec{E} = -E_0\hat{z}$ y $\vec{B} = B_0\hat{y}$, una carga con velocidad $v\hat{x}$ experimenta $\vec{F}_\text{mag} = qvB_0\hat{z}$, que cancela $\vec{F}_\text{elec} = -qE_0\hat{z}$ cuando $v = E_0/B_0$.
Radio de ciclotrón y frecuencia angular
La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta: $|q|v_\perp B = mv_\perp^2/r$. El radio de ciclotrón $r$ depende del momento $mv_\perp$ y del producto $|q|B$. La frecuencia $\omega_c = |q|B/m$ es independiente de la velocidad (isocrona).
Fuerza sobre distribuciones de corriente
Se obtiene integrando la fuerza de Lorentz sobre todos los portadores. Para un cable la integral es sobre la longitud; para distribuciones superficiales y volumétricas se integra $\vec{K}\times\vec{B}$ y $\vec{J}\times\vec{B}$ respectivamente.
Distancia recorrida en $\hat{z}$ al penetrar una región magnética
Una carga que entra con velocidad $v$ a un ángulo $\theta$ respecto a $\vec{B}$ (apuntando en $\hat{z}$) describe un arco circular en el plano perpendicular a $\vec{B}$. La penetración máxima en $\hat{z}$ antes de salir de la región es el diámetro del arco proyectado: $2r\sin\theta = 2(mv\sin\theta)/(|q|B)$.

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de fuerza de Lorentz
  • Identificar los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ presentes y la carga de la partícula (signo incluido).
  • Calcular $\vec{v}\times\vec{B}$ usando el producto vectorial con regla de la mano derecha; recordar que si $q < 0$ el sentido de la fuerza se invierte.
  • En el selector de velocidades, la condición $v_\text{sel} = E_0/B_0$ es universal: no depende de $m$ ni de $q$. Para $v < v_\text{sel}$ predomina la fuerza eléctrica (la partícula se desvía en el sentido de $\vec{E}$).
  • Para movimiento en campo $\vec{B}$ puro, descomponer $\vec{v}$ en componente paralela $v_\parallel = v\cos\theta$ (no afectada) y perpendicular $v_\perp = v\sin\theta$ (produce el giro).
  • El radio de ciclotrón $r = mv_\perp/(|q|B)$: aumenta con la masa y la velocidad, disminuye con la carga y el campo.
  • Para fuerzas sobre cables, verificar la orientación de $d\vec{\ell}$ (sentido de la corriente) y aplicar la regla de la mano derecha para $d\vec{\ell}\times\vec{B}$.
  • La fuerza magnética no hace trabajo: la energía cinética de la partícula no cambia en campo $\vec{B}$ puro.
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