Aux 21 — Faraday-Lenz

📋 Temas que cubre

Ley de Faraday-Lenz: $ε = - d Φ / d t$ y principio de Lenz (la corriente inducida se opone al cambio de flujo)
Flujo magnético $Φ = \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}$ y su cálculo en geometrías con simetría
Forma diferencial de Faraday: $\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B} / \partial t$ (tercera ecuación de Maxwell)
Forma integral: $\oint_{Γ} \vec{E} \cdot d \vec{ℓ} = - \frac{\partial}{\partial t} \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}$
Espira cayendo en campo magnético no uniforme: corriente inducida, fuerza de frenado y régimen estacionario (velocidad terminal)
Inductancia mutua $M$ : ${ℰ︀}_{2} = - M d I_{1} / d t$ , simetría $M_{12} = M_{21}$
Autoinductancia $L$ : $ℰ︀ = - L d I / d t$ , flujo concatenado $Φ = L I$
Bobina giratoria cerca de una placa conductora: corriente inducida en función del tiempo

💡 Conceptos clave

Principio de Lenz

El signo negativo en $ε = - d Φ / d t$ no es un accidente: la corriente inducida genera un campo magnético que se opone al cambio de flujo. Si el flujo crece, la corriente inducida lo contrarresta; si decrece, lo refuerza. Es una manifestación de la conservación de energía.

Velocidad terminal

Una espira que cae en un campo no uniforme experimenta una fuerza de frenado proporcional a su velocidad, $F_{mag} \propto v$ . En régimen estacionario esta fuerza equilibra la gravedad y la espira alcanza la velocidad terminal $v_{t} = M g R / k^{2}$ , donde $k$ agrupa los parámetros geométricos y del campo.

Inductancia mutua

Cuando la corriente $I_{1}$ en un circuito varía, el flujo que atraviesa un segundo circuito cambia e induce una fem ${ℰ︀}_{2} = - M d I_{1} / d t$ . El coeficiente $M$ (en henrios) depende solo de la geometría relativa y cumple $M_{12} = M_{21}$ , independientemente de la forma de cada circuito.

Autoinductancia

Un circuito con corriente variable se "autoinducía": el campo que él mismo genera cambia y produce una fem $ℰ︀ = - L d I / d t$ que se opone al cambio de corriente. La autoinductancia $L$ (en H) mide la eficiencia con que el circuito almacena energía magnética: $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ .

📐 Fórmulas fundamentales

Ley de Faraday-Lenz — formas integral y diferencial

La fem inducida es la tasa de cambio del flujo magnético, con signo negativo (principio de Lenz). La forma diferencial

\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B} / \partial t

es la tercera ecuación de Maxwell; la forma integral se obtiene por el teorema de Stokes. La orientación del contorno

Γ

y la superficie

S

quedan vinculadas por la regla de la mano derecha.

Flujo magnético

El flujo

Φ

mide cuántas líneas de

\vec{B}

atraviesan la superficie

S

delimitada por el circuito. Para una espira plana en campo uniforme:

Φ = B A cos θ

. En campos no uniformes hay que integrar. La variación de

Φ

puede deberse a que

\vec{B}

cambia en el tiempo, a que la superficie se mueve o deforma, o a ambas cosas a la vez.

Corriente inducida y fuerza de frenado (espira en caída libre)

Para una espira circular de radio

a

y resistencia

R

cayendo en el campo

B_{z} = C z

: el flujo es

Φ = C z π a^{2}

, la fem inducida es

ε = - C π a^{2} \dot{z}

, la corriente es

I = ε / R

, y la fuerza magnética vertical (que frena la caída) es

F_{z} = - C^{2} π^{2} a^{4} v / R

. El régimen estacionario se alcanza cuando

F_{z} + M g = 0

Inductancia mutua y autoinductancia

La inductancia mutua

M

relaciona la corriente de un circuito con el flujo que atraviesa el otro:

Φ_{2} = M I_{1}

. La autoinductancia

L

relaciona la propia corriente con el flujo concatenado:

Φ = L I

. Ambas se miden en henrios (H = Wb/A). Para una bobina solenoidea de

N

espiras, radio

r

, longitud

h

L = μ_{0} N^{2} π r^{2} / h

Fem inducida por inductancia mutua y autoinductancia

Cuando la corriente

I_{1}

varía, induce en el circuito 2 una fem

{ℰ︀}_{2} = - M d I_{1} / d t

. La simetría

M_{12} = M_{21}

garantiza reciprocidad: no importa cuál circuito "excita" al otro. La fem autoinducida

ℰ︀ = - L d I / d t

se opone a todo cambio de corriente (inercia eléctrica).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de inducción

Siempre comenzar calculando el flujo $Φ = \iint \vec{B} \cdot d \vec{S}$ a través del circuito. Identificar qué variable cambia con el tiempo ( $z$ , $θ$ , $I$ , etc.).
Aplicar $ε = - d Φ / d t$ . Si el flujo crece (por la orientación elegida), la fem es negativa, lo que significa que la corriente inducida fluye en sentido opuesto a la normal elegida por la mano derecha.
Para determinar el sentido de la corriente inducida usar directamente el principio de Lenz: la corriente se opone al cambio de flujo. Si $Φ$ aumenta, la corriente crea un campo que se opone al campo exterior.
En la espira cayendo: usar la componente radial del campo $B_{r}$ para obtener la fuerza vertical $F_{z} = I \oint {(d \vec{ℓ} \times \vec{B})}_{z}$ . Usar la ley de Gauss magnética ( $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ) para relacionar $B_{r}$ con $B_{z} = C z$ : resulta $B_{r} = - C a / 2$ .
En régimen estacionario $\dot{v} = 0$ : igualar la fuerza magnética de frenado con la gravedad para encontrar la velocidad terminal.
Para inductancia mutua de una bobina giratoria: el flujo varía como $Φ (t) = M I_{0} cos (ω t + ϕ_{0})$ , y la corriente inducida es $I (t) = (M ω I_{0} / R) sin (ω t + ϕ_{0})$ .
La autoinductancia de la bobina solenoidal: $L = μ_{0} N^{2} π r^{2} / h$ , independiente del ángulo de rotación (propiedad geométrica del bobinado).

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Faraday-Lenz II

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