Temario › Unidad 6
Inducción · Aux 21–22

Auxiliar 21: Faraday-Lenz

La ley de Faraday-Lenz establece que toda variación del flujo magnético a través de un circuito induce una fuerza electromotriz que se opone al cambio: $\varepsilon = -d\Phi/dt$. Es la tercera ecuación de Maxwell y unifica inducción, inductancia mutua y autoinductancia bajo un mismo principio variacional.

📋 Temas que cubre

  • Ley de Faraday-Lenz: $\varepsilon = -d\Phi/dt$ y principio de Lenz (la corriente inducida se opone al cambio de flujo)
  • Flujo magnético $\Phi = \iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$ y su cálculo en geometrías con simetría
  • Forma diferencial de Faraday: $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$ (tercera ecuación de Maxwell)
  • Forma integral: $\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{\partial}{\partial t}\iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$
  • Espira cayendo en campo magnético no uniforme: corriente inducida, fuerza de frenado y régimen estacionario (velocidad terminal)
  • Inductancia mutua $M$: $\mathcal{E}_2 = -M\,dI_1/dt$, simetría $M_{12} = M_{21}$
  • Autoinductancia $L$: $\mathcal{E} = -L\,dI/dt$, flujo concatenado $\Phi = LI$
  • Bobina giratoria cerca de una placa conductora: corriente inducida en función del tiempo

💡 Conceptos clave

Principio de Lenz

El signo negativo en $\varepsilon = -d\Phi/dt$ no es un accidente: la corriente inducida genera un campo magnético que se opone al cambio de flujo. Si el flujo crece, la corriente inducida lo contrarresta; si decrece, lo refuerza. Es una manifestación de la conservación de energía.

Velocidad terminal

Una espira que cae en un campo no uniforme experimenta una fuerza de frenado proporcional a su velocidad, $F_\text{mag} \propto v$. En régimen estacionario esta fuerza equilibra la gravedad y la espira alcanza la velocidad terminal $v_t = MgR/k^2$, donde $k$ agrupa los parámetros geométricos y del campo.

Inductancia mutua

Cuando la corriente $I_1$ en un circuito varía, el flujo que atraviesa un segundo circuito cambia e induce una fem $\mathcal{E}_2 = -M\,dI_1/dt$. El coeficiente $M$ (en henrios) depende solo de la geometría relativa y cumple $M_{12} = M_{21}$, independientemente de la forma de cada circuito.

Autoinductancia

Un circuito con corriente variable se "autoinducía": el campo que él mismo genera cambia y produce una fem $\mathcal{E} = -L\,dI/dt$ que se opone al cambio de corriente. La autoinductancia $L$ (en H) mide la eficiencia con que el circuito almacena energía magnética: $U = \tfrac{1}{2}LI^2$.

📐 Fórmulas fundamentales

Ley de Faraday-Lenz — formas integral y diferencial
La fem inducida es la tasa de cambio del flujo magnético, con signo negativo (principio de Lenz). La forma diferencial $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$ es la tercera ecuación de Maxwell; la forma integral se obtiene por el teorema de Stokes. La orientación del contorno $\Gamma$ y la superficie $S$ quedan vinculadas por la regla de la mano derecha.
Flujo magnético
El flujo $\Phi$ mide cuántas líneas de $\vec{B}$ atraviesan la superficie $S$ delimitada por el circuito. Para una espira plana en campo uniforme: $\Phi = BA\cos\theta$. En campos no uniformes hay que integrar. La variación de $\Phi$ puede deberse a que $\vec{B}$ cambia en el tiempo, a que la superficie se mueve o deforma, o a ambas cosas a la vez.
Corriente inducida y fuerza de frenado (espira en caída libre)
Para una espira circular de radio $a$ y resistencia $R$ cayendo en el campo $B_z = Cz$: el flujo es $\Phi = C z \pi a^2$, la fem inducida es $\varepsilon = -C\pi a^2 \dot{z}$, la corriente es $I = \varepsilon/R$, y la fuerza magnética vertical (que frena la caída) es $F_z = -C^2\pi^2 a^4 v / R$. El régimen estacionario se alcanza cuando $F_z + Mg = 0$.
Inductancia mutua y autoinductancia
La inductancia mutua $M$ relaciona la corriente de un circuito con el flujo que atraviesa el otro: $\Phi_2 = M I_1$. La autoinductancia $L$ relaciona la propia corriente con el flujo concatenado: $\Phi = L I$. Ambas se miden en henrios (H = Wb/A). Para una bobina solenoidea de $N$ espiras, radio $r$, longitud $h$: $L = \mu_0 N^2 \pi r^2 / h$.
Fem inducida por inductancia mutua y autoinductancia
Cuando la corriente $I_1$ varía, induce en el circuito 2 una fem $\mathcal{E}_2 = -M\,dI_1/dt$. La simetría $M_{12} = M_{21}$ garantiza reciprocidad: no importa cuál circuito "excita" al otro. La fem autoinducida $\mathcal{E} = -L\,dI/dt$ se opone a todo cambio de corriente (inercia eléctrica).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de inducción
  • Siempre comenzar calculando el flujo $\Phi = \iint \vec{B}\cdot d\vec{S}$ a través del circuito. Identificar qué variable cambia con el tiempo ($z$, $\theta$, $I$, etc.).
  • Aplicar $\varepsilon = -d\Phi/dt$. Si el flujo crece (por la orientación elegida), la fem es negativa, lo que significa que la corriente inducida fluye en sentido opuesto a la normal elegida por la mano derecha.
  • Para determinar el sentido de la corriente inducida usar directamente el principio de Lenz: la corriente se opone al cambio de flujo. Si $\Phi$ aumenta, la corriente crea un campo que se opone al campo exterior.
  • En la espira cayendo: usar la componente radial del campo $B_r$ para obtener la fuerza vertical $F_z = I \oint (d\vec{\ell}\times\vec{B})_z$. Usar la ley de Gauss magnética ($\nabla\cdot\vec{B}=0$) para relacionar $B_r$ con $B_z = Cz$: resulta $B_r = -Ca/2$.
  • En régimen estacionario $\dot{v} = 0$: igualar la fuerza magnética de frenado con la gravedad para encontrar la velocidad terminal.
  • Para inductancia mutua de una bobina giratoria: el flujo varía como $\Phi(t) = M I_0 \cos(\omega t + \phi_0)$, y la corriente inducida es $I(t) = (M\omega I_0 / R)\sin(\omega t + \phi_0)$.
  • La autoinductancia de la bobina solenoidal: $L = \mu_0 N^2 \pi r^2 / h$, independiente del ángulo de rotación (propiedad geométrica del bobinado).
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