Temario › Unidad 6
Materia magnética · Aux 23–25

Auxiliar 23: Vector de Magnetización

El vector de magnetización $\vec{M}$ describe la densidad de momento dipolar magnético en un material. Cuando $\vec{M}$ varía en el espacio, aparecen corrientes de magnetización volumétricas $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$ y superficiales $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$ que actúan como fuentes efectivas del campo magnético.

📋 Temas que cubre

  • Definición del vector de magnetización $\vec{M}$ como densidad de momento dipolar magnético: $d\vec{m} = \vec{M}\,dV$
  • Corriente volumétrica de magnetización: $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$
  • Corriente superficial de magnetización: $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$
  • Cálculo de corrientes de magnetización en geometría cilíndrica con $\vec{M}$ constante perpendicular al eje
  • Cálculo de corrientes de magnetización en un cubo con $\vec{M}$ no uniforme ($\vec{M} = M_0 x/a\,\hat{z}$)
  • Cálculo de corrientes de magnetización en cilindro con $\vec{M} = ks^2\,\hat{\phi}$ en coordenadas cilíndricas
  • Obtención del campo magnético a partir de las corrientes de magnetización usando la ley de Ampère

💡 Conceptos clave

Vector de magnetización

$\vec{M}$ (A/m) es el momento dipolar magnético por unidad de volumen. En un material paramagnético o ferromagnético, cuantifica cuánto están alineados los dipolos atómicos. La relación $d\vec{m} = \vec{M}\,dV$ lo define localmente.

Corriente volumétrica $\vec{J}_m$

Aparece cuando $\vec{M}$ varía en el espacio: $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$. Si $\vec{M}$ es uniforme, $\vec{J}_m = 0$ en el interior, pues los lazos de corriente microscópicos se cancelan mutuamente entre celdas vecinas.

Corriente superficial $\vec{K}_m$

En la superficie del material los lazos microscópicos no tienen vecinos que los cancelen, generando una corriente efectiva $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$, donde $\hat{n}$ apunta hacia afuera del material. Sus unidades son A/m.

Campo producido por las corrientes de magnetización

Las corrientes $\vec{J}_m$ y $\vec{K}_m$ son fuentes del campo $\vec{B}$ exactamente igual que las corrientes libres. Se les aplica Ampère: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}_m$ (cuando no hay corrientes libres) y la forma integral para geometrías con simetría.

📐 Fórmulas fundamentales

Vector de magnetización — definición
El momento dipolar magnético diferencial $d\vec{m}$ en un volumen $dV$ es proporcional a $\vec{M}$. Integrando sobre todo el material se obtiene el momento total. Las unidades de $\vec{M}$ son A/m (equivalente a J/(T·m³)).
Corrientes de magnetización
La corriente volumétrica $\vec{J}_m$ surge del rotacional de $\vec{M}$: basta que $\vec{M}$ sea inhomogéneo para que aparezca. La corriente superficial $\vec{K}_m$ existe siempre que $\vec{M}$ tenga componente tangencial en la frontera del material.
Rotacional en coordenadas cilíndricas
Expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas $(s, \phi, z)$. Es indispensable para calcular $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$ cuando la magnetización está dada en esta base, como en el caso $\vec{M} = ks^2\,\hat{\phi}$.
Campo magnético por Ampère a partir de $\vec{J}_m$
En ausencia de corrientes libres, el campo $\vec{B}$ es generado únicamente por las corrientes de magnetización. Con simetría cilíndrica, se elige un camino amperiano circular de radio $s$ y se obtiene $\vec{B}$ directamente de la corriente encerrada $I_\text{enc} = \int \vec{J}_m \cdot d\vec{S}$.
Corriente superficial — cilindro con $\vec{M} = M_0\,\hat{x}$
Para un cilindro con magnetización constante $\vec{M} = M_0\hat{x}$, la corriente superficial $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{\rho}$ varía con el ángulo azimutal. Expresando $\hat{x} = \cos\phi\,\hat{\rho} - \sin\phi\,\hat{\phi}$ en cilíndricas, el resultado es $\vec{K}_m = M_0\cos\phi\,\hat{z}$, análogo a un solenoide.

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas de magnetización
  • Calcular siempre primero $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$ y $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$, independientemente del campo final pedido.
  • Si $\vec{M}$ es uniforme en el interior, $\vec{J}_m = 0$; toda la corriente de magnetización queda en la superficie. Esto ocurre en el P1 (cilindro con $\vec{M} = M_0\hat{x}$).
  • Si $\vec{M}$ depende de la posición, $\vec{J}_m \neq 0$ en el interior. En el P2 (cubo con $\vec{M} = M_0 x/a\,\hat{z}$), el rotacional da $\vec{J}_m = -(M_0/a)\hat{y}$ y las corrientes superficiales aparecen en las caras donde $\vec{M}$ tiene componente tangencial.
  • En coordenadas cilíndricas, el rotacional de $\vec{M} = M_\phi(s)\hat{\phi}$ tiene solo componente $\hat{z}$: $J_{m,z} = \frac{1}{s}\frac{d(sM_\phi)}{ds}$.
  • Una vez conocidas las corrientes de magnetización, aplicar la ley de Ampère tal como se haría con corrientes libres: elegir camino con la simetría del problema y despejar $\vec{B}$.
  • Verificar la consistencia: la corriente total (volumétrica + superficial) debe anularse para un imán aislado en equilibrio — esto es la condición de conservación de carga.
← Anterior
Faraday-Lenz II