Temario › Unidad 6
Materia magnética · Aux 23–25

Auxiliar 24: Vector de Magnetización — Parte 2

Continuación del estudio del vector de magnetización: se introduce el potencial escalar magnético $\Phi_m$ como herramienta para calcular $\vec{H}$ en regiones sin corrientes libres, y se formaliza la analogía con la electrostática mediante cargas magnéticas equivalentes $\rho_m$ y $\sigma_m$.

📋 Temas que cubre

  • Potencial escalar magnético $\Phi_m$: definición $\vec{H} = -\nabla\Phi_m$ en regiones sin corriente libre
  • Relación entre $\vec{B}$, $\vec{H}$ y $\vec{M}$: $\vec{B} = \mu_0(\vec{H} + \vec{M})$
  • Ecuación de Poisson magnética: $\nabla^2\Phi_m = \nabla\cdot\vec{M}$
  • Cargas magnéticas equivalentes: densidad volumétrica $\rho_m = -\nabla\cdot\vec{M}$ y superficial $\sigma_m = \vec{M}\cdot\hat{n}$
  • Equivalencia entre la formulación de cargas magnéticas y la de corrientes ligadas $\vec{J}_b$, $\vec{K}_b$
  • Campo magnético en el eje de un cilindro uniformemente magnetizado
  • Campo en el centro de la abertura de un toroide magnetizado (superposición toroide + espira)
  • Campo de una esfera magnética rodeada por un medio de permeabilidad $\mu$

💡 Conceptos clave

Potencial escalar magnético

En regiones donde $\vec{J}_f = 0$, se tiene $\nabla\times\vec{H} = 0$, por lo que $\vec{H}$ es irrotacional y puede escribirse como $\vec{H} = -\nabla\Phi_m$. Esto simplifica enormemente el cálculo de $\vec{H}$ cuando existe simetría.

Analogía electrostática

La ecuación $\nabla^2\Phi_m = -\rho_m$ es idéntica a la de Poisson eléctrica. Las cargas magnéticas equivalentes $\rho_m$ y $\sigma_m$ no son reales (no existen monopolos), sino una herramienta matemática que permite reutilizar toda la maquinaria de la electrostática.

Cargas superficiales magnéticas

En la superficie de un material magnetizado, $\sigma_m = \vec{M}\cdot\hat{n}$ actúa como una distribución de carga magnética. Para un cilindro magnetizado axialmente, aparecen $\pm\sigma_m$ en las tapas, análogos a las cargas en un capacitor.

Superposición de configuraciones

Un toroide con una pequeña abertura se trata como un toroide completo más una espira cuadrada con corriente invertida. Este principio de superposición es clave: la abertura "quita" la contribución del segmento faltante.

📐 Fórmulas fundamentales

Potencial escalar magnético y campo auxiliar
Válido en regiones sin corrientes libres ($\vec{J}_f = 0$). El signo negativo es por analogía con el potencial eléctrico. A partir de $\Phi_m$ se recupera $\vec{B} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M})$.
Cargas magnéticas equivalentes
$\rho_m$ (A/m²) es la densidad volumétrica y $\sigma_m$ (A/m) la densidad superficial de carga magnética equivalente. Para magnetización uniforme $\rho_m = 0$ en el interior; solo aparece $\sigma_m$ en las superficies donde $\vec{M}$ tiene componente normal.
Ecuación de Poisson magnética
Análoga a $\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0$ en electrostática. Su solución formal es $\Phi_m(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho_m(\vec{r}\,')}{\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|}\,dV' + \frac{1}{4\pi}\oint \frac{\sigma_m(\vec{r}\,')}{\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|}\,dS'$.
Campo en el eje de un cilindro magnetizado
Para un cilindro de longitud $L$ y radio $R$ uniformemente magnetizado a lo largo de su eje, el campo en el centro se obtiene sumando la contribución de las dos tapas como discos de $\pm\sigma_m = M$. En el límite $R \ll L$ se recupera $B \approx \mu_0 M$.
Equivalencia corrientes ligadas — cargas magnéticas
Ambas formulaciones describen la misma física. Las corrientes ligadas $\vec{J}_b = \nabla\times\vec{M}$ y $\vec{K}_b = \vec{M}\times\hat{n}$ producen exactamente el mismo campo que las cargas $\rho_m$ y $\sigma_m$. Se elige la más conveniente según la geometría del problema.

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para usar el potencial escalar magnético
  • Verificar que no hay corrientes libres en la región de interés: si $\vec{J}_f \neq 0$, el potencial escalar no es válido y hay que volver a $\vec{A}$ o a Ampère directo.
  • Identificar las distribuciones de carga magnética: $\rho_m = -\nabla\cdot\vec{M}$ en el volumen y $\sigma_m = \vec{M}\cdot\hat{n}$ en cada superficie de discontinuidad.
  • Para magnetización uniforme dentro de un volumen, $\rho_m = 0$; las únicas fuentes son las $\sigma_m$ superficiales.
  • Calcular $\Phi_m$ con la integral tipo Coulomb (igual que el potencial eléctrico con $\rho_m/4\pi$ en lugar de $\rho/4\pi\epsilon_0$), luego $\vec{H} = -\nabla\Phi_m$.
  • Para el toroide con abertura: tratar como toroide completo (campo $B_t = \mu_0 M$ dentro) más espira cuadrada de corriente $I = Ma$ inversa; el campo neto en el centro de la abertura es $B = B_t + B_\text{espira}$.
  • La equivalencia entre corrientes ligadas y cargas magnéticas es exacta: elegir según conveniencia. Las cargas son útiles cuando hay simetría que permite usar resultados electrostáticos directamente.
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