Temario › Unidad 5
Corrientes y circuitos · Aux 15–16

Auxiliar 15: Corrientes y Resistencias

El campo eléctrico no solo ejerce fuerza: en medios conductores crea corriente. Esta unidad conecta los conceptos electrostáticos con la física del transporte de cargas.

📋 Temas que cubre

  • Densidad de corriente $\mathbf{J}$ y corriente total $I = \int\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}$
  • Ley de Ohm local: $\mathbf{J} = \sigma_c\mathbf{E}$ (conductividad $\sigma_c$, no confundir con densidad de carga)
  • Ecuación de continuidad: $\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$
  • Estado estacionario: $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$
  • Resistencia $R = V/I$ para geometrías simples y complejas
  • Potencia disipada: efecto Joule $P = \int\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,dV = I^2R$

💡 Conceptos clave

Densidad de corriente J

$\mathbf{J}$ [A/m²] es el flujo de carga por unidad de área. La corriente $I$ que pasa por una superficie es el flujo de $\mathbf{J}$ a través de ella. El sentido positivo es el de movimiento de cargas positivas.

Ley de Ohm local

$\mathbf{J} = \sigma_c\mathbf{E}$ es la versión diferencial de $V = RI$. La conductividad $\sigma_c = 1/\rho_r$ (resistividad) depende del material y la temperatura, no de $I$ ni $V$.

Ecuación de continuidad

Expresa la conservación local de carga: la corriente que sale de un volumen iguala la tasa de disminución de carga dentro. En estado estacionario, no hay acumulación: $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$.

Efecto Joule

Cuando $\mathbf{J}$ fluye con $\mathbf{E}$, el campo hace trabajo sobre las cargas que se disipa como calor. La densidad de potencia es $p = \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} = \sigma_c E^2 = J^2/\sigma_c$.

📐 Fórmulas fundamentales

Corriente y densidad de corriente
$\sigma_c$ [S/m] es la conductividad eléctrica del material. No confundir con la densidad superficial de carga $\sigma$ [C/m²].
Ecuación de continuidad
En estado estacionario, las líneas de $\mathbf{J}$ son cerradas (conservación de carga). Condición de borde: $J_{1n} = J_{2n}$ en interfaces (sin acumulación).
Resistencia de conductor cilíndrico
$\rho_r$ = resistividad [Ω·m] · $\ell$ = longitud · $A$ = área de sección transversal. Para geometrías complejas se integra $R = \int d\ell / (\sigma_c A)$.
Potencia disipada — efecto Joule
Unidad: W = J/s. Esta potencia se convierte íntegramente en calor en una resistencia pura.

🎯 Qué hay que entender

✦ Analogía con electrostática
  • $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ ↔ $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ (Laplace): ambas son ecuaciones de flujo conservativo.
  • $\mathbf{J} = \sigma_c\mathbf{E}$ ↔ $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$: misma estructura matemática, distintas constantes de proporcionalidad.
  • Las condiciones de borde son análogas: $J_{n}$ continua ↔ $D_{n}$ continua (sin cargas libres).
  • Para calcular $R$: encuentra $\mathbf{E}$ a partir de Gauss o simetría, luego $V = -\int\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}$ e $I = \int\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}$, finalmente $R = V/I$.
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