Temario › Unidad 6
Magnetismo · Aux 17–18

Auxiliar 18: Ley de Ampère

La ley de Ampère es el análogo magnético de la ley de Gauss: aprovecha la simetría para calcular $\vec{B}$ a partir de la corriente encerrada en un camino amperiano. Su forma diferencial $\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}$ conecta el campo con su fuente local.

📋 Temas que cubre

  • Definición de corriente $I = dQ/dt$ y densidades de corriente $\vec{J}$ (volumétrica) y $\vec{K}$ (superficial)
  • Forma diferencial de Ampère: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}$
  • Forma integral: $\oint\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_\text{enc}$
  • Corriente encerrada $I_\text{enc} = \int\vec{J}\cdot d\vec{S}$
  • Cable coaxial: campo por regiones (interior, entre conductores, exterior)
  • Obtención de $\vec{J}$ desde $\vec{B}$ dado por Ampère inverso (teorema de Stokes)
  • Condición para anular el campo exterior: balance de corrientes encerradas

💡 Conceptos clave

Densidad de corriente

$\vec{J}$ (A/m²) describe la corriente por unidad de sección transversal. $\vec{K}$ (A/m) describe la corriente por unidad de largo en superficies. La corriente total es $I = \int_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$.

Ley de Ampère integral

Análoga a la ley de Gauss: eligiendo un camino amperiano cerrado con la simetría del problema, $\vec{B}$ sale constante de la integral y se puede despejar. Funciona para geometrías cilíndricas, planas e infinitas.

Regla de la mano derecha

Si los dedos de la mano derecha rodean el cable en el sentido del camino amperiano, el pulgar apunta en el sentido positivo de la corriente. Esto determina el signo de $I_\text{enc}$.

Cable coaxial

Ejemplo paradigmático: el campo entre los conductores ($a < r < b$) depende solo de la corriente interior. Para $r > c$ el campo se anula si las corrientes totales son iguales y opuestas.

📐 Fórmulas fundamentales

Corriente y densidades
La corriente es el flujo de carga. La densidad volumétrica $\vec{J}$ integrada sobre una sección da $I$. Para corrientes superficiales: $I = \int_\ell(\vec{K}\times\hat{n})\cdot d\vec{\ell}$, donde $\hat{n}$ es la normal a la superficie.
Ley de Ampère — forma diferencial
Se deriva de la ley de Biot-Savart aplicando identidades vectoriales. Junto con $\nabla\cdot\vec{B} = 0$ (no hay monopolos magnéticos), determina completamente $\vec{B}$ dado $\vec{J}$.
Ley de Ampère — forma integral
Se obtiene por el teorema de Stokes: $\iint(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S} = \oint\vec{B}\cdot d\vec{\ell}$. La clave está en elegir un camino amperiano donde $\vec{B}$ sea paralelo a $d\vec{\ell}$ y constante en módulo.

🎯 Qué hay que entender

✦ Método para aplicar la ley de Ampère
  • Identificar la simetría: cilíndrica (camino circular), planar (camino rectangular), toroidal.
  • Determinar la dirección de $\vec{B}$ por la regla de la mano derecha y por simetría (el campo no puede tener componente radial en simetría cilíndrica).
  • Elegir el camino amperiano donde $|\vec{B}|$ sea constante y $\vec{B}\parallel d\vec{\ell}$: la integral queda $B\cdot 2\pi r$.
  • Calcular $I_\text{enc}$ integrando $\vec{J}$ sobre la sección encerrada por el camino.
  • Para obtener $\vec{J}$ a partir de $\vec{B}$ dado: aplicar $\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}$ en coordenadas cilíndricas: $J = \frac{1}{\mu_0 r}\frac{d(rB)}{dr}$.
  • El campo exterior se anula cuando $I_\text{enc,total} = 0$: las corrientes opuestas se cancelan.
← Anterior
Fuerza de Lorentz