Temario › Unidad 6
Materia magnética · Aux 23–25

Auxiliar 25: Vector Intensidad Magnética

El vector intensidad magnética $\vec{H}$ generaliza la ley de Ampère a medios materiales: separa las contribuciones de las corrientes libres de las de magnetización. En medios lineales, $\vec{B} = \mu\vec{H}$ conecta ambos campos a través de la permeabilidad magnética del material.

📋 Temas que cubre

  • Definición del vector magnetización $\vec{M}$ y su relación con el momento dipolar magnético por unidad de volumen
  • Corrientes de magnetización: densidad volumétrica $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$ y densidad superficial $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$
  • Definición del campo $\vec{H}$: $\vec{H} = \frac{1}{\mu_0}\vec{B} - \vec{M}$
  • Ley de Ampère generalizada: $\oint_\Gamma \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_\text{enc}^\text{libre}$
  • Medios lineales: $\vec{B} = \mu\vec{H}$, permeabilidad $\mu = \mu_0(1+\chi_m)$ y permeabilidad relativa $\mu_r$
  • Clasificación de materiales: diamagnéticos ($\chi_m < 0$), paramagnéticos ($\chi_m > 0$) y ferromagnéticos ($\chi_m \gg 1$)
  • Toroide con material inhomogéneo: cálculo de $\vec{H}$, $\vec{B}$, $\vec{M}$ e inductancia propia

💡 Conceptos clave

Vector intensidad magnética $\vec{H}$

$\vec{H}$ se define para separar las corrientes libres (de conductores) de las corrientes de magnetización (internas al material). Su ley de Ampère, $\oint\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_\text{libre}$, solo involucra corrientes que controlamos, lo que lo hace útil en la práctica.

Corrientes de magnetización

Un material magnetizado actúa como si tuviera corrientes internas: $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$ en el volumen y $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$ en la superficie. Son análogas a las cargas de polarización en dieléctricos, y juntas reproducen el efecto del material sobre $\vec{B}$.

Medios lineales e isótropos

Para la mayoría de los materiales (excepto ferromagnéticos), $\vec{M} = \chi_m\vec{H}$, lo que da $\vec{B} = \mu_0(1+\chi_m)\vec{H} = \mu\vec{H}$. La susceptibilidad $\chi_m$ caracteriza el tipo de material: negativa para diamagnéticos, positiva y pequeña para paramagnéticos, y muy grande para ferromagnéticos.

Toroide con núcleo magnético

En un toroide de $N$ espiras con corriente $I$, el camino amperiano circular encierra $NI$ de corriente libre. Esto da $H = NI/(2\pi r)$ independientemente del material. Si el material es inhomogéneo ($\mu = \mu(\theta)$), entonces $\vec{B}$ y $\vec{M}$ varían con la posición aunque $\vec{H}$ no.

📐 Fórmulas fundamentales

Definición del campo $\vec{H}$ y ley de Ampère generalizada
El campo $\vec{H}$ (en A/m) aísla la contribución de las corrientes libres. Su circulación sobre un camino cerrado $\Gamma$ es igual a la corriente libre encerrada $I_\text{enc}^\text{libre}$, sin importar las corrientes de magnetización del material. Esto es directo análogo de la ley de Ampère para $\vec{B}$ en el vacío.
Corrientes de magnetización
La magnetización no uniforme genera una densidad de corriente volumétrica $\vec{J}_m = \nabla\times\vec{M}$. En la superficie del material existe además una corriente superficial $\vec{K}_m = \vec{M}\times\hat{n}$, donde $\hat{n}$ apunta hacia afuera del material. Ambas son las fuentes de $\vec{B}$ debidas al material.
Relación constitutiva en medios lineales
En medios lineales e isótropos, $\vec{B} = \mu\vec{H}$ con $\mu = \mu_0\mu_r = \mu_0(1+\chi_m)$. La permeabilidad relativa $\mu_r > 1$ para materiales paramagnéticos y ferromagnéticos; $\mu_r < 1$ para diamagnéticos. Para el vacío $\mu_r = 1$ y $\chi_m = 0$.
Campo $\vec{H}$ en toroide — resultado general
Aplicando la ley de Ampère generalizada a un camino circular de radio $r$ dentro del toroide, el campo $\vec{H}$ resulta idéntico al caso sin material: solo depende de la geometría y la corriente libre. Si el núcleo es inhomogéneo con $\mu = \mu(\theta)$, el campo $\vec{B} = \mu(\theta)\vec{H}$ varía con la posición aunque $\vec{H}$ sea uniforme en cada radio.
Inductancia propia con material magnético
La inductancia se obtiene integrando el flujo total de $\vec{B}$ a través de las $N$ espiras. Con material de permeabilidad $\mu(\theta)$, la inductancia queda amplificada respecto al caso vacío $L_0 = \mu_0 N^2 h \ln(b/a)/(2\pi)$ por el promedio angular de $\mu_r(\theta)$. Para $\mu/\mu_0 = 2+\cos\theta$, la integral da $\langle\mu_r\rangle = 2$.

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia para problemas con materiales magnéticos
  • Usar siempre $\vec{H}$ primero: aplicar $\oint\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_\text{libre}$ con un camino que aproveche la simetría. $\vec{H}$ solo depende de las corrientes libres, no del material.
  • Luego obtener $\vec{B} = \mu\vec{H}$ y $\vec{M} = \chi_m\vec{H} = (\mu_r-1)\vec{H}$. Si $\mu$ varía con la posición, $\vec{B}$ y $\vec{M}$ también varían aunque $\vec{H}$ sea uniforme.
  • Clasificar el material: si $\chi_m = \mu_r - 1 < 0$ → diamagnético; si $\chi_m > 0$ pequeño → paramagnético; si $\chi_m \gg 1$ → ferromagnético. En el ejemplo del toroide con $\mu_r = 2+\cos\theta$: para $\cos\theta < -1$ no existe físicamente; la región es paramagnética cuando $\mu_r > 1$, es decir $\cos\theta > -1$, siempre se cumple aquí.
  • Para la inductancia: $L = N\Phi/I$ donde $\Phi = \int\vec{B}\cdot d\vec{S}$ es el flujo a través de una espira. Con material inhomogéneo se integra $\mu(\theta)$ sobre la sección.
  • El torque sobre el toroide en un campo externo uniforme es nulo si la distribución de $\vec{M}$ es simétrica respecto al campo, o se calcula como $\vec{\tau} = \vec{m}\times\vec{B}_\text{ext}$ con el momento dipolar total del sistema.
  • Diferencia clave respecto a dieléctricos: $\vec{H}$ juega el papel de $\vec{D}$, pero $\vec{H}$ no incluye las corrientes libres en su fuente — al contrario, $\nabla\times\vec{H} = \vec{J}_\text{libre}$, mientras que $\nabla\times\vec{D} = 0$ en ausencia de corrientes.
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