Auxiliar 13: Dieléctricos
Teoría completa de los dieléctricos: el vector desplazamiento $\mathbf{D}$, la susceptibilidad eléctrica y la Ley de Gauss generalizada. El marco formal para tratar medios polarizables.
Temas que cubre
- Vector desplazamiento: $\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$
- Dieléctricos lineales: $\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$, por lo tanto $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$
- Susceptibilidad $\chi_e$ y permitividad relativa $\varepsilon_r = 1 + \chi_e$
- Ley de Gauss para $\mathbf{D}$: $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{\text{libre}}$
- Esferas dieléctricas en campos externos, cilindros con dieléctrico
Conceptos clave
Por qué necesitamos D
$\mathbf{E}$ total incluye el efecto de las cargas de polarización. $\mathbf{D}$ está determinado solo por las cargas libres (las que controlamos). Gauss para $\mathbf{D}$ es más fácil de aplicar.
Relación constitutiva
Para dieléctricos lineales e isótropos: $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$ con $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$. Esto conecta $\mathbf{D}$ (fuentes libres) con $\mathbf{E}$ (campo físico medible).
Permitividad relativa εᵣ
$\varepsilon_r > 1$ siempre para dieléctricos reales. Indica cuánto reduce el dieléctrico el campo eléctrico respecto al vacío. El agua tiene $\varepsilon_r \approx 80$.
Cargas de polarización
$\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ y $\sigma_p = \mathbf{P}\cdot\hat{n}$. En un dieléctrico lineal uniforme: $\rho_p = 0$ en el volumen (solo hay $\sigma_p$ en la superficie).
Fórmulas fundamentales
Qué hay que entender
- Usa Gauss para $\mathbf{D}$ (con $Q_{\text{libre}}$) para encontrar $\mathbf{D}$.
- Obtén $\mathbf{E} = \mathbf{D}/\varepsilon$ en cada región (cuidado: $\varepsilon$ puede variar).
- Calcula $\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$ y luego las cargas de polarización si las piden.
- El campo $\mathbf{E}$ es continuo en la dirección tangencial; $\mathbf{D}$ tiene componente normal continua (sin cargas libres en la interfaz).