Aux 13 — Dieléctricos

📋 Temas que cubre

Vector desplazamiento: $D = ε_{0} E + P$
Dieléctricos lineales: $P = ε_{0} χ_{e} E$ , por lo tanto $D = ε E$
Susceptibilidad $χ_{e}$ y permitividad relativa $ε_{r} = 1 + χ_{e}$
Ley de Gauss para $D$ : $\nabla \cdot D = ρ_{libre}$
Esferas dieléctricas en campos externos, cilindros con dieléctrico

💡 Conceptos clave

Por qué necesitamos D

$E$ total incluye el efecto de las cargas de polarización. $D$ está determinado solo por las cargas libres (las que controlamos). Gauss para $D$ es más fácil de aplicar.

Relación constitutiva

Para dieléctricos lineales e isótropos: $D = ε E$ con $ε = ε_{r} ε_{0}$ . Esto conecta $D$ (fuentes libres) con $E$ (campo físico medible).

Permitividad relativa εᵣ

$ε_{r} > 1$ siempre para dieléctricos reales. Indica cuánto reduce el dieléctrico el campo eléctrico respecto al vacío. El agua tiene $ε_{r} \approx 80$ .

Cargas de polarización

$ρ_{p} = - \nabla \cdot P$ y $σ_{p} = P \cdot \hat{n}$ . En un dieléctrico lineal uniforme: $ρ_{p} = 0$ en el volumen (solo hay $σ_{p}$ en la superficie).

📐 Fórmulas fundamentales

Definición del vector desplazamiento

Para dieléctrico lineal:

D = ε E

con

ε = ε_{r} ε_{0}

. En el vacío:

D = ε_{0} E

(

P = 0

Ley de Gauss para el vector D

Solo involucra cargas libres (controlables). Útil cuando se conoce

Q_{libre}

y hay simetría para aplicar Gauss.

Relaciones entre magnitudes

χ_{e} \geq 0

para dieléctricos pasivos. La polarización siempre está en la misma dirección que el campo (para isótropos lineales).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia con dieléctricos

Usa Gauss para $D$ (con $Q_{libre}$ ) para encontrar $D$ .
Obtén $E = D / ε$ en cada región (cuidado: $ε$ puede variar).
Calcula $P = ε_{0} χ_{e} E$ y luego las cargas de polarización si las piden.
El campo $E$ es continuo en la dirección tangencial; $D$ tiene componente normal continua (sin cargas libres en la interfaz).

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