Temario › Unidad 5
Clase complementaria · Unidad 5

Cátedra 11: Mecánica Estadística y Función de Partición

Fundamentos estadísticos de la termodinámica: microestados, macroestados, la entropía de Boltzmann, y la función de partición como herramienta para calcular todas las propiedades termodinámicas.

📋 Temas que cubre

  • Microestados (ω) y macroestados: cuántas formas hay de realizar un macroestado
  • Entropía de Boltzmann: S=kBlnΩ
  • Maximización de la entropía: el equilibrio como estado de máxima probabilidad
  • Distribución de Boltzmann: probabilidad de un estado con energía ϵi
  • Función de partición canónica: Z=∑ie−ϵi/(kBT)
  • Energía libre de Helmholtz: F=−kBTlnZ
  • Derivación de magnitudes termodinámicas desde Z: U, S, P

💡 Conceptos clave

Microestados y macroestados

Un macroestado se describe por las variables macroscópicas (T, P, V, U). Un microestado especifica el estado completo de todas las partículas. Ω es el número de microestados compatibles con el macroestado dado. El equilibrio corresponde al macroestado con mayor Ω.

Entropía de Boltzmann

S=kBlnΩ conecta la descripción estadística (microestados) con la termodinámica (entropía). El logaritmo aparece porque queremos que la entropía sea extensiva: Ω de dos sistemas independientes se multiplica, pero sus entropías deben sumarse.

Distribución de Boltzmann

La probabilidad de encontrar el sistema en un microestado de energía ϵi es pi=e−ϵi/(kBT)/Z. El factor e−ϵ/(kBT) se llama factor de Boltzmann. A mayor temperatura, los estados de alta energía son más accesibles.

Función de partición Z

Z=∑ie−ϵi/(kBT) suma sobre todos los microestados. Es el "generador" de toda la termodinámica: diferenciando lnZ con respecto a T y V se obtienen U, P, S y F. El nombre viene del alemán Zustandssumme (suma de estados).

📐 Fórmulas fundamentales

Entropía de Boltzmann
Ω número de microestados compatibles con el macroestado · kB=1.38×10−23 J/K. Esta fórmula está grabada en la lápida de Boltzmann en Viena.
Distribución de Boltzmann (ensamble canónico)
pi probabilidad del microestado i con energía ϵi · Z función de partición (factor de normalización).
Energía interna desde la función de partición
Equivalentemente: U=kBT2∂lnZ∂T. Permite calcular U sin resolver la mecánica microscópica explícitamente.
Energía libre de Helmholtz
F es la energía disponible para hacer trabajo a temperatura constante. De F se derivan todas las demás magnitudes: S=−(∂F/∂T)V, P=−(∂F/∂V)T.

🎯 Qué hay que entender

✦ La lógica de la mecánica estadística
  • La termodinámica clásica postuló la entropía; la mecánica estadística la derivó de principios más fundamentales (probabilidades de microestados).
  • La función de partición Z codifica toda la física del sistema. Una vez que conoces Z en función de T y V, puedes calcular cualquier propiedad termodinámica.
  • El factor de Boltzmann e−ϵ/(kBT) tiene una interpretación física directa: la probabilidad relativa de un estado con energía ϵ comparado con el estado de energía cero.
  • A T→0: solo el estado de menor energía está poblado. A T→∞: todos los estados son igualmente probables.
  • La distribución de Maxwell (aux. 5) es un caso particular de la distribución de Boltzmann aplicada a los estados de traslación de las moléculas.

🧠 Quiz de repaso

1. ¿Por qué la entropía de Boltzmann S=kBlnΩ usa el logaritmo de Ω y no Ω directamente?
2. Un sistema tiene dos estados con energías ϵ1<ϵ2. Al aumentar la temperatura T, la probabilidad del estado de mayor energía ϵ2...
3. ¿Cómo se obtiene la energía interna media U a partir de la función de partición Z?
← Anterior
Entropía y Ciclo de Carnot