CC4 — Procesos Adiabáticos

📋 Temas que cubre

Derivación de $p V^{γ} = cte$ desde la primera ley con $Q = 0$
Relaciones equivalentes: $T V^{γ - 1} = cte$ y $T^{γ} p^{1 - γ} = cte$
Trabajo en proceso adiabático: $W = N C_{V} (T_{f} - T_{i}) = (p_{f} V_{f} - p_{i} V_{i}) / (1 - γ)$
La adiabática es siempre más empinada que la isotérmica en el diagrama $p$ - $V$
Aplicaciones: velocidad del sonido adiabática, gradiente adiabático en la atmósfera
Relación entre $C_{p}$ , $C_{V}$ y $γ$ para gases con distintos grados de libertad

💡 Conceptos clave

Derivación de $p V^{γ} = cte$

De $d U = - p d V$ (adiabático cuasi-estático) y $d U = N C_{V} d T$ : $N C_{V} d T = - p d V$ . Con $p = N k_{B} T / V$ se obtiene $N C_{V} d T / T = - N k_{B} d V / V$ . Integrando: $ln T + (γ - 1) ln V = cte$ , es decir $T V^{γ - 1} = cte$ .

$γ$ y los grados de libertad

Por equipartición, $C_{V} = (f / 2) N k_{B}$ donde $f$ es el número de grados de libertad. Entonces $γ = C_{p} / C_{V} = (f + 2) / f$ . Gas monoatómico: $f = 3$ , $γ = 5 / 3$ . Diatómico (T moderada): $f = 5$ , $γ = 7 / 5$ . Diatómico (T alta, vibración activa): $f = 7$ , $γ = 9 / 7$ .

Velocidad del sonido

El sonido se propaga adiabáticamente (oscilaciones rápidas sin tiempo para intercambio de calor). Newton calculó $v_{s} = \sqrt{p / ρ}$ (isotérmico, incorrecto). Laplace corrigió con la compresibilidad adiabática: $v_{s} = \sqrt{γ p / ρ} = \sqrt{γ k_{B} T / m}$ , en acuerdo con el experimento.

Gradiente adiabático atmosférico

Una masa de aire que asciende se expande adiabáticamente y se enfría. El gradiente de temperatura adiabático seco es $d T / d z = - g / C_{p} \approx - 9.8$ K/km. Si el gradiente real es mayor (atmósfera más inestable), hay convección; si es menor, la atmósfera es estable.

📐 Fórmulas fundamentales

Ley del proceso adiabático reversible

f

: grados de libertad por molécula. Equivalentemente

T V^{γ - 1} = cte

T^{γ} p^{1 - γ} = cte

. La adiabática es más empinada que la isotérmica (

p V = cte

) porque

γ > 1

Trabajo en el proceso adiabático

Como

Q = 0

Δ U = W_{a d} = N C_{V} Δ T

. En expansión adiabática (

V_{f} > V_{i}

T_{f} < T_{i}

W_{a d} < 0

(el sistema realiza trabajo a expensas de su energía interna).

Velocidad del sonido adiabática

Para aire a 20°C:

v_{s} \approx 343

m/s. La corrección de Laplace (

γ

en lugar de 1) aumenta la velocidad predicha por Newton en un factor

\sqrt{γ} \approx 1.18

, eliminando la discrepancia experimental.

🎯 Qué hay que entender

✦ Claves de los procesos adiabáticos

La derivación de $p V^{γ} = cte$ usa solo la primera ley con $Q = 0$ y la definición de $C_{V}$ — no requiere ningún modelo microscópico. $γ$ es el único parámetro que depende del gas.
Las tres formas ( $p V^{γ}$ , $T V^{γ - 1}$ , $T^{γ} p^{1 - γ}$ ) son matemáticamente equivalentes; conviene usar la que involucra las variables conocidas del problema.
La distinción entre compresibilidades adiabática e isotérmica fue histórica: Newton midió $v_{s}$ en el aire y obtuvo un valor 18% menor al experimental. Laplace identificó que las oscilaciones de presión en el sonido son adiabáticas, no isotérmicas.
El gradiente adiabático en la atmósfera tiene consecuencias meteorológicas directas: la inestabilidad convectiva (tormentas) ocurre cuando el gradiente real supera el adiabático.

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