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Clase complementaria · Unidad 2

Cátedra 5: Distribución de Maxwell

Distribución estadística de velocidades en un gas ideal en equilibrio: no todas las partículas tienen la misma rapidez, sino que siguen una distribución característica que depende de $T$ y $m$.

📋 Temas que cubre

  • Distribución de Maxwell para la rapidez: $f(v)$
  • Distribución de Maxwell-Boltzmann para una componente: $f(v_x)$
  • Tres velocidades características: $v_p$, $\langle v \rangle$, $v_{\text{rms}}$
  • Efecto de la temperatura: la distribución se ensancha al subir $T$
  • Efecto de la masa: partículas más ligeras son más rápidas
  • Consecuencias: efusión, separación isotópica, reacciones nucleares en estrellas

💡 Conceptos clave

Distribución de velocidades

En equilibrio, las partículas no tienen todas la misma rapidez. La distribución de Maxwell $f(v)$ da la fracción de partículas con rapidez entre $v$ y $v+dv$. Es una gaussiana en 3D proyectada al espacio de rapideces.

Tres velocidades características

La velocidad más probable $v_p$ (máximo de $f(v)$), la velocidad media $\langle v \rangle$ y la velocidad cuadrática media $v_{\text{rms}}$ son distintas: $v_p < \langle v\rangle < v_{\text{rms}}$.

Efusión de gases

La ley de Graham: la tasa de efusión de un gas a través de un orificio pequeño es inversamente proporcional a $\sqrt{m}$. El gas más liviano escapa más rápido. Esto se usa para separar isótopos (p.ej. $^{235}$U y $^{238}$U).

Cola de alta energía

La distribución de Maxwell tiene una cola hacia velocidades altas. Aunque pocas partículas tienen esa energía, son cruciales: en el interior de las estrellas son las que tienen suficiente energía cinética para superar la barrera de Coulomb y fusionarse.

📐 Fórmulas fundamentales

Distribución de Maxwell-Boltzmann para una componente
Gaussiana centrada en cero · $\int_{-\infty}^{\infty} f(v_x)\,dv_x = 1$. El ancho es $\sigma = \sqrt{k_BT/m}$: crece con $T$ y disminuye con $m$.
Distribución de Maxwell para la rapidez
$f(v)\,dv$ = fracción de partículas con rapidez entre $v$ y $v+dv$. El factor $v^2$ refleja el volumen del espacio de velocidades en coordenadas esféricas.
Velocidades características
Relación: $v_p : \langle v\rangle : v_{\text{rms}} = 1 : \sqrt{4/\pi} : \sqrt{3/2} \approx 1 : 1.13 : 1.22$. Las tres escalan como $\sqrt{T/m}$.
Ley de efusión de Graham
$r$ tasa de efusión (partículas por unidad de tiempo). Gas más liviano ($m_1 < m_2$) efunde más rápido ($r_1 > r_2$).
Distribución de Maxwell para la rapidez en 2D
En 2D el "espacio de velocidades" es un plano: la cáscara esférica $4\pi v^2\,dv$ de 3D se reemplaza por un anillo $2\pi v\,dv$, así que el factor pasa de $v^2$ a $v^1$. Esta es la distribución de Rayleigh.
Velocidades características en 2D
El orden $v_p < \langle v\rangle < v_{\text{rms}}$ se mantiene, pero las constantes cambian respecto al caso 3D. Propiedad de Rayleigh: $v_{\text{rms}} = \sqrt{2}\,v_p$ exactamente.

🎯 Qué hay que entender

✦ Cómo leer la distribución de Maxwell
  • $f(v)$ no es la velocidad de las partículas: es la distribución de probabilidad de encontrar una partícula con esa rapidez.
  • El factor $v^2$ hace que $f(0) = 0$: casi ninguna partícula está exactamente en reposo.
  • Al subir $T$: la distribución se aplana y se desplaza a velocidades mayores, pero sigue normalizada.
  • La temperatura entra en la forma $mv^2/(2k_BT)$: lo relevante es la energía cinética comparada con $k_BT$.
  • La cola a altas velocidades es exponencial: crece lentamente en escala logarítmica. En astrofísica, esa cola es la que permite que el Sol brille.

🧠 Quiz de repaso

1. ¿Cuál es el orden correcto de las tres velocidades características de Maxwell?
2. ¿Por qué $f(v = 0) = 0$ en la distribución de Maxwell para la rapidez?
3. Según la ley de efusión de Graham, ¿qué gas sale más rápido por un orificio pequeño: $^{235}$UF$_6$ (masa ligeramente menor) o $^{238}$UF$_6$?
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