Cát. 5 — Distribución de Maxwell

📋 Temas que cubre

Distribución de Maxwell para la rapidez: $f (v)$
Distribución de Maxwell-Boltzmann para una componente: $f (v_{x})$
Tres velocidades características: $v_{p}$ , $⟨ v ⟩$ , $v_{rms}$
Efecto de la temperatura: la distribución se ensancha al subir $T$
Efecto de la masa: partículas más ligeras son más rápidas
Consecuencias: efusión, separación isotópica, reacciones nucleares en estrellas

💡 Conceptos clave

Distribución de velocidades

En equilibrio, las partículas no tienen todas la misma rapidez. La distribución de Maxwell $f (v)$ da la fracción de partículas con rapidez entre $v$ y $v + d v$ . Es una gaussiana en 3D proyectada al espacio de rapideces.

Tres velocidades características

La velocidad más probable $v_{p}$ (máximo de $f (v)$ ), la velocidad media $⟨ v ⟩$ y la velocidad cuadrática media $v_{rms}$ son distintas: $v_{p} < ⟨ v ⟩ < v_{rms}$ .

Efusión de gases

La ley de Graham: la tasa de efusión de un gas a través de un orificio pequeño es inversamente proporcional a $\sqrt{m}$ . El gas más liviano escapa más rápido. Esto se usa para separar isótopos (p.ej. $^{235}$ U y $^{238}$ U).

Cola de alta energía

La distribución de Maxwell tiene una cola hacia velocidades altas. Aunque pocas partículas tienen esa energía, son cruciales: en el interior de las estrellas son las que tienen suficiente energía cinética para superar la barrera de Coulomb y fusionarse.

📐 Fórmulas fundamentales

Distribución de Maxwell-Boltzmann para una componente

Gaussiana centrada en cero ·

\int_{- \infty}^{\infty} f (v_{x}) d v_{x} = 1

. El ancho es

σ = \sqrt{k_{B} T / m}

: crece con

T

y disminuye con

m

Distribución de Maxwell para la rapidez

f (v) d v

= fracción de partículas con rapidez entre

v

v + d v

. El factor

v^{2}

refleja el volumen del espacio de velocidades en coordenadas esféricas.

Velocidades características

Relación:

v_{p} : ⟨ v ⟩ : v_{rms} = 1 : \sqrt{4 / π} : \sqrt{3 / 2} \approx 1 : 1.13 : 1.22

. Las tres escalan como

\sqrt{T / m}

Ley de efusión de Graham

r

tasa de efusión (partículas por unidad de tiempo). Gas más liviano (

m_{1} < m_{2}

) efunde más rápido (

r_{1} > r_{2}

Distribución de Maxwell para la rapidez en 2D

En 2D el "espacio de velocidades" es un plano: la cáscara esférica

4 π v^{2} d v

de 3D se reemplaza por un anillo

2 π v d v

, así que el factor pasa de

v^{2}

v^{1}

. Esta es la distribución de Rayleigh.

Velocidades características en 2D

El orden

v_{p} < ⟨ v ⟩ < v_{rms}

se mantiene, pero las constantes cambian respecto al caso 3D. Propiedad de Rayleigh:

v_{rms} = \sqrt{2} v_{p}

exactamente.

🎯 Qué hay que entender

✦ Cómo leer la distribución de Maxwell

$f (v)$ no es la velocidad de las partículas: es la distribución de probabilidad de encontrar una partícula con esa rapidez.
El factor $v^{2}$ hace que $f (0) = 0$ : casi ninguna partícula está exactamente en reposo.
Al subir $T$ : la distribución se aplana y se desplaza a velocidades mayores, pero sigue normalizada.
La temperatura entra en la forma $m v^{2} / (2 k_{B} T)$ : lo relevante es la energía cinética comparada con $k_{B} T$ .
La cola a altas velocidades es exponencial: crece lentamente en escala logarítmica. En astrofísica, esa cola es la que permite que el Sol brille.

🧠 Quiz de repaso

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Cátedra 5: Distribución de Maxwell