Cát. 3 — Teoría Cinética y Presión

📋 Temas que cubre

Modelo de gas ideal: partículas puntiformes sin interacción, solo choques elásticos
Transferencia de momentum en una colisión con la pared
Cálculo de la presión a partir de colisiones: $P = \frac{1}{3} n m ⟨ v^{2} ⟩$
Sistema isotrópico: el gas no tiene dirección preferida
Superposición de presiones parciales por dirección
Relación $P V = \frac{2}{3} U$ : presión y energía interna

💡 Conceptos clave

Gas ideal

Modelo formado por partículas puntiformes de masa $m$ que no interactúan entre sí (o solo se golpean elásticamente). La única energía es cinética. Es una excelente aproximación para gases reales a baja densidad.

Presión como fuerza de colisión

Una partícula que choca elásticamente con la pared transfiere un impulso $Δ p = 2 m v_{x}$ (perpendicular a la pared). La presión es la fuerza total por unidad de área, acumulando los efectos de todos los choques.

Sistema isotrópico

En equilibrio, el gas no tiene dirección preferida: $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = ⟨ v_{y}^{2} ⟩ = ⟨ v_{z}^{2} ⟩ = \frac{1}{3} ⟨ v^{2} ⟩$ . Esto permite calcular la presión usando solo la componente normal a la pared.

Densidad de partículas $n$

Se define $n = N / V$ como el número de partículas por unidad de volumen. La presión es proporcional a $n$ : más partículas por volumen → más colisiones por segundo → más presión.

📐 Fórmulas fundamentales

Impulso en una colisión elástica con la pared

m

masa de la partícula ·

v_{x}

componente de velocidad perpendicular a la pared. El signo de

v_{x}

se invierte; la pared queda estacionaria.

Presión del gas ideal (teoría cinética)

n = N / V

densidad numérica ·

m

masa por partícula ·

⟨ v^{2} ⟩

velocidad cuadrática media. El factor

\frac{1}{3}

viene de la isotropía:

⟨ v_{x}^{2} ⟩ = \frac{1}{3} ⟨ v^{2} ⟩

Relación presión–energía interna

U

energía interna total (puramente cinética para gas ideal). Esta relación conecta una magnitud macroscópica (

P V

) con el mundo microscópico (

U

Ecuación de estado del gas ideal

N

número de partículas ·

k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23}

J/K ·

T

temperatura absoluta. Equivalentemente:

P V = ν R T

con

ν

moles y

R = N_{A} k_{B} = 8.314

J/(mol·K).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia de la derivación

La idea central es contar cuántas partículas chocan con la pared por unidad de tiempo y calcular el impulso de cada choque.
La isotropía es clave: en equilibrio no hay dirección preferida, así que solo la componente $v_{x}$ contribuye a la presión sobre la pared perpendicular a $x$ .
El factor $\frac{1}{2}$ viene de que solo las partículas que se mueven hacia la pared chocan con ella (no las que se alejan).
El resultado $P V = \frac{2}{3} U$ es notable: una propiedad macroscópica ( $P V$ ) está directamente ligada a la energía microscópica total $U$ .
La ecuación $P V = N k_{B} T$ no es un axioma: es un resultado derivado de la teoría cinética más la definición de temperatura.

🧠 Quiz de repaso

← Anterior

Historia: Calor y Máquinas

Temperatura y Equilibrio Térmico

Cátedra 3: Teoría Cinética y Presión