Temario › Unidad 2
Gas ideal y cinética · Cát. 3–5

Cátedra 3: Teoría Cinética y Presión

Derivación microscópica de la ecuación de estado del gas ideal: la presión surge de las colisiones de partículas con las paredes del recipiente.

📋 Temas que cubre

  • Modelo de gas ideal: partículas puntiformes sin interacción, solo choques elásticos
  • Transferencia de momentum en una colisión con la pared
  • Cálculo de la presión a partir de colisiones: $P = \frac{1}{3}nm\langle v^2\rangle$
  • Sistema isotrópico: el gas no tiene dirección preferida
  • Superposición de presiones parciales por dirección
  • Relación $PV = \frac{2}{3}U$: presión y energía interna

💡 Conceptos clave

Gas ideal

Modelo formado por partículas puntiformes de masa $m$ que no interactúan entre sí (o solo se golpean elásticamente). La única energía es cinética. Es una excelente aproximación para gases reales a baja densidad.

Presión como fuerza de colisión

Una partícula que choca elásticamente con la pared transfiere un impulso $\Delta p = 2mv_x$ (perpendicular a la pared). La presión es la fuerza total por unidad de área, acumulando los efectos de todos los choques.

Sistema isotrópico

En equilibrio, el gas no tiene dirección preferida: $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \tfrac{1}{3}\langle v^2 \rangle$. Esto permite calcular la presión usando solo la componente normal a la pared.

Densidad de partículas $n$

Se define $n = N/V$ como el número de partículas por unidad de volumen. La presión es proporcional a $n$: más partículas por volumen → más colisiones por segundo → más presión.

📐 Fórmulas fundamentales

Impulso en una colisión elástica con la pared
$m$ masa de la partícula · $v_x$ componente de velocidad perpendicular a la pared. El signo de $v_x$ se invierte; la pared queda estacionaria.
Presión del gas ideal (teoría cinética)
$n = N/V$ densidad numérica · $m$ masa por partícula · $\langle v^2 \rangle$ velocidad cuadrática media. El factor $\tfrac{1}{3}$ viene de la isotropía: $\langle v_x^2 \rangle = \tfrac{1}{3}\langle v^2 \rangle$.
Relación presión–energía interna
$U$ energía interna total (puramente cinética para gas ideal). Esta relación conecta una magnitud macroscópica ($PV$) con el mundo microscópico ($U$).
Ecuación de estado del gas ideal
$N$ número de partículas · $k_B = 1.38\times10^{-23}$ J/K · $T$ temperatura absoluta. Equivalentemente: $PV = \nu RT$ con $\nu$ moles y $R = N_A k_B = 8.314$ J/(mol·K).

🎯 Qué hay que entender

✦ Estrategia de la derivación
  • La idea central es contar cuántas partículas chocan con la pared por unidad de tiempo y calcular el impulso de cada choque.
  • La isotropía es clave: en equilibrio no hay dirección preferida, así que solo la componente $v_x$ contribuye a la presión sobre la pared perpendicular a $x$.
  • El factor $\frac{1}{2}$ viene de que solo las partículas que se mueven hacia la pared chocan con ella (no las que se alejan).
  • El resultado $PV = \frac{2}{3}U$ es notable: una propiedad macroscópica ($PV$) está directamente ligada a la energía microscópica total $U$.
  • La ecuación $PV = Nk_BT$ no es un axioma: es un resultado derivado de la teoría cinética más la definición de temperatura.

🧠 Quiz de repaso

1. ¿De dónde surge el factor $\frac{1}{3}$ en la expresión $P = \frac{1}{3}nm\langle v^2 \rangle$?
2. La relación $PV = \frac{2}{3}U$ es notable porque…
3. En el cálculo de la presión, ¿por qué solo contribuyen las partículas con velocidad perpendicular $v_x > 0$ (las que se mueven hacia la pared)?
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