Temario › Unidad 8
Gases Reales y Transporte · Cát. 24–28

Cátedra 24: Equipartición Avanzada y Estadística Cuántica

Cierre del teorema de equipartición con un ejemplo rico —una "varita" rígida con grados de libertad traslacionales y rotacionales— y primer contacto con la física cuántica que gobierna los gases reales: el principio de exclusión de Pauli, fermiones y bosones, y la corrección $N!$ en la función de partición de partículas indistinguibles.

📋 Temas que cubre

  • Repaso del teorema de equipartición: cada grado de libertad cuadrático y separable aporta $k_BT/2$ a la energía media
  • Modelo de una "varita" rígida: energía de traslación del centro de masa más energía de rotación vía el tensor de inercia $I$
  • El tensor de inercia en ejes principales: $E_\text{rot} = \sum_j I_j\omega_j^2/2$, con hasta 3 grados de libertad rotacionales
  • Conteo de grados de libertad cuadráticos según la geometría del objeto (varita delgada: 2 rotaciones; objeto general: 3)
  • El principio de exclusión de Pauli: dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico
  • Fermiones (electrones, protones, neutrones, quarks) versus bosones (fotones, gluones) y su origen en las interacciones fundamentales
  • Por qué la indistinguibilidad cuántica obliga a corregir la función de partición de $N$ partículas: $Z_N \approx Z_1^N/N!$

💡 Conceptos clave

La varita rígida y su tensor de inercia

Un objeto extendido tiene energía cinética de traslación del centro de masa, $mv_\text{cm}^2/2$, más energía de rotación en torno a sus ejes principales. En ejes principales el tensor de inercia es diagonal, así que $E_\text{rot} = \sum_{j=1}^3 I_j\omega_j^2/2$: el análogo rotacional exacto de $mv^2/2$, con $I_j$ jugando el papel de "masa para girar" en cada eje.

Geometría determina los grados de libertad

Si el objeto es una varita perfectamente delgada, rotar en torno a su propio eje largo es despreciable (momento de inercia casi nulo en esa dirección), así que solo quedan 2 modos de rotación útiles. Para un objeto con tres dimensiones comparables, los 3 modos rotacionales son relevantes: 3 traslacionales + 3 rotacionales = 6 grados de libertad cuadráticos, y por equipartición $\langle\varepsilon\rangle = 6\cdot(k_BT/2) = 3k_BT$.

Principio de exclusión de Pauli

Es un principio —una observación repetida de la naturaleza, no algo derivado desde primeros principios— que establece que dos fermiones (electrones, protones, neutrones, quarks) nunca pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico. Los bosones (fotones, gluones, mediadores de las interacciones fundamentales) no tienen esta restricción.

Indistinguibilidad y el factor $N!$

A escala atómica no existen "patentes": no se puede monitorear continuamente cuál partícula es cuál. Combinado con el principio de Pauli (que prohíbe que dos partículas ocupen la misma configuración), el conteo correcto de configuraciones distintas de $N$ partículas indistinguibles introduce un factor $1/N!$: $Z_N \approx Z_1^N/N!$, la aproximación que se usará para describir gases reales.

📐 Fórmulas fundamentales

Equipartición para la varita rígida (6 g.l. cuadráticos)
La energía media de la "varita" tiene una parte traslacional ($mv_\text{cm}^2/2$, 3 g.l.) y una rotacional ($\sum_j I_j\omega_j^2/2$, hasta 3 g.l.). Si los 6 grados de libertad son cuadráticos e independientes, equipartición da $\langle\varepsilon\rangle = 3k_BT$ por partícula — el doble que un gas monoatómico simple.
Tensor de inercia y energía rotacional
$I_j$ mide la dificultad de hacer girar el sistema en torno al eje principal $j$: se calcula integrando la densidad de masa ponderada por la distancia al eje al cuadrado. En ejes principales el tensor diagonaliza y la energía rotacional es la suma de tres términos análogos a $mv^2/2$, uno por eje.
Función de partición de $N$ partículas indistinguibles
Si las partículas fueran distinguibles, $Z_N$ sería simplemente $Z_1^N$. La indistinguibilidad cuántica (y el principio de Pauli para fermiones) obliga a dividir por $N!$: cada una de las $N!$ permutaciones de etiquetas describe el mismo estado físico, así que se cuenta una sola vez. Esta corrección es esencial para obtener una entropía extensiva (resuelve la paradoja de Gibbs).
Principio de exclusión de Pauli
Para fermiones, la probabilidad de que dos partículas ocupen exactamente la misma configuración cuántica es cero. Esta restricción es la razón física profunda detrás de la estructura de la materia: por qué los electrones se ordenan en capas atómicas y por qué la materia ordinaria no se colapsa sobre sí misma.

🎯 Qué hay que entender

✦ De la equipartición clásica a la estadística cuántica
  • Equipartición es un resultado puramente clásico: cualquier grado de libertad separable y cuadrático en la energía aporta $k_BT/2$, sin importar si es traslación, rotación o vibración. Lo único que cambia entre problemas es cuántos grados de libertad cuadráticos hay, y eso depende de la geometría microscópica del sistema.
  • El tensor de inercia no es un objeto exótico: es exactamente el análogo rotacional de la masa. Así como $m$ mide la resistencia a acelerar linealmente, $I_j$ mide la resistencia a girar en torno a un eje específico — y en ejes principales se comporta como tres "masas rotacionales" independientes.
  • El principio de exclusión de Pauli no se deriva de primeros principios en este curso: es una observación experimental repetida miles de veces, exactamente como ocurre con cualquier principio físico fundamental (igual que la conservación de la energía o las leyes de Newton en su momento).
  • El factor $1/N!$ no es un truco combinatorio cosmético: nace de que, a nivel microscópico, las partículas idénticas no tienen "matrícula" — no hay manera física de rastrear cuál es cuál. Por eso la indistinguibilidad cuántica entra directamente en la función de partición clásica como una corrección necesaria.
  • Este resultado, $Z_N \approx Z_1^N/N!$, es la puerta de entrada a la cátedra siguiente: una vez que se sabe contar bien los estados de $N$ partículas, se puede calcular la energía libre y de ahí toda la termodinámica de un gas, real o ideal.

🧠 Quiz de repaso

1. Para la "varita" rígida con 3 grados de libertad de traslación y 3 de rotación (todos cuadráticos), el teorema de equipartición predice que la energía media por partícula es:
2. Si la "varita" es extremadamente delgada (como una aguja ideal), ¿cuántos grados de libertad rotacionales cuadráticos contribuyen realmente a la energía, y por qué?
3. La función de partición de $N$ partículas indistinguibles se escribe $Z_N \approx Z_1^N/N!$ en vez de simplemente $Z_1^N$. ¿Cuál es la razón física de fondo para dividir por $N!$?
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