Cát. 8 — Capacidad Calórica

📋 Temas que cubre

Definición de capacidad calórica: $C = \bar{δ} Q / d T$
Capacidad calórica a volumen constante: $C_{V} = {(\partial U / \partial T)}_{V}$
Capacidad calórica a presión constante: $C_{P} = C_{V} + N k_{B}$
Razón de capacidades: $γ = C_{P} / C_{V}$
Gas ideal monoatómico: $C_{V} = \frac{3}{2} N k_{B}$ ; diatómico: $C_{V} = \frac{5}{2} N k_{B}$
Proceso adiabático reversible: $P V^{γ} = cte$
La energía interna del gas ideal no depende del volumen

💡 Conceptos clave

Capacidad calórica a $V$ constante, $C_{V}$

Al calentar a volumen constante, no hay trabajo ( $\bar{δ} W = 0$ ), así que todo el calor va a energía interna: $\bar{δ} Q = d U$ . Por eso $C_{V} = {(\partial U / \partial T)}_{V}$ . Para gas ideal monoatómico: $C_{V} = \frac{3}{2} N k_{B}$ .

Capacidad calórica a $P$ constante, $C_{P}$

Al calentar a presión constante, el gas también se expande y realiza trabajo. Se necesita más calor que en el proceso isocórico: $C_{P} > C_{V}$ . La diferencia $C_{P} - C_{V} = N k_{B}$ corresponde exactamente al trabajo de expansión.

Razón $γ = C_{P} / C_{V}$

Para gas monoatómico: $γ = \frac{5 / 2}{3 / 2} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ . Para diatómico (con rotación): $γ = \frac{7 / 2}{5 / 2} = \frac{7}{5} = 1.4$ . Este parámetro controla la pendiente de las adiabáticas en el diagrama $P$ - $V$ .

Proceso adiabático

Cuando $\bar{δ} Q = 0$ y el proceso es reversible, la temperatura cambia con el volumen siguiendo $T V^{γ - 1} = cte$ y $P V^{γ} = cte$ . La adiabática es más empinada que la isotérmica en el diagrama $P$ - $V$ .

📐 Fórmulas fundamentales

Capacidad calórica a volumen constante

Gas diatómico (con rotación):

C_{V} = \frac{5}{2} N k_{B}

. El subíndice

V

indica que el volumen se mantiene fijo durante la derivada.

Relación de Mayer (gas ideal)

Válida para cualquier gas ideal. La diferencia

N k_{B}

es el trabajo de expansión a presión constante:

P Δ V = N k_{B} Δ T

(de la ecuación de estado).

Ley de proceso adiabático reversible

γ = C_{P} / C_{V} > 1

. Las tres formas son equivalentes (se derivan usando

P V = N k_{B} T

). La adiabática siempre tiene mayor pendiente que la isotérmica en el diagrama

P

V

Razón de capacidades

Monoatómico:

γ = 5 / 3

· Diatómico (a temperatura moderada):

γ = 7 / 5 = 1.4

· Poliatómico:

γ \to 1

🎯 Qué hay que entender

✦ Claves de la capacidad calórica

$C_{P} > C_{V}$ siempre: a presión constante el gas tiene que "pagar" trabajo extra para expandirse.
Para el gas ideal $C_{V}$ no depende de $T$ (a temperaturas moderadas). Esto es consecuencia de que $U = \frac{3}{2} N k_{B} T$ es lineal en $T$ .
El número de grados de libertad determina $C_{V}$ : cada grado de libertad aporta $\frac{1}{2} N k_{B}$ . Monoatómico: 3 traslacionales; diatómico: 3 traslacionales + 2 rotacionales = 5.
Para derivar $P V^{γ} = cte$ : usar $d U = \bar{δ} W$ (adiabático) + $d U = C_{V} d T$ + $P V = N k_{B} T$ .
La adiabática es más "dura" que la isotérmica: al comprimir adiabáticamente, la presión sube más porque la temperatura también sube.

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