Cát. 19 — Gran Ensemble Canónico

📋 Temas que cubre

Ensemble gran canónico ( $μ V T$ ): $T$ y $μ$ fijos, $N$ y $E$ fluctúan
Gran función de partición $Ξ = \sum_{N, r} e^{β (μ N - E_{N, r})}$
Gran potencial $Ω = - k_{B} T ln Ξ = - p V$
Número medio de partículas $⟨ N ⟩ = k_{B} T \partial ln Ξ / \partial μ$
Estadística de Fermi-Dirac: fermiones (electrones, protones) — principio de exclusión
Estadística de Bose-Einstein: bosones (fotones, fonones) — condensación

💡 Conceptos clave

Ensemble gran canónico

El sistema puede intercambiar tanto energía como partículas con el reservorio. Las variables fijas son $T$ , $V$ y $μ$ (potencial químico del reservorio). En el equilibrio: $μ_{s i s t e m a} = μ_{r e s e r v o r i o}$ . Es el ensemble más natural para partículas cuánticas.

Fugacidad $z = e^{β μ}$

Variable natural del gran ensemble: $Ξ = \sum_{N} z^{N} Z_{N}$ . Para gases clásicos a alta temperatura, $z ≪ 1$ ; para fermiones a baja temperatura, $z \to \infty$ (límite cuántico). La fugacidad es la "actividad" del gas en química.

Distribución de Fermi-Dirac

Ocupación media del nivel $ε$ por fermiones: ${\bar{n}}_{F D} (ε) = 1 / (e^{β (ε - μ)} + 1) \in [0, 1]$ . A $T = 0$ : ${\bar{n}}_{F D} = 1$ para $ε < μ = ε_{F}$ (energía de Fermi) y $0$ para $ε > μ$ . El Mar de Fermi.

Distribución de Bose-Einstein

Ocupación media del nivel $ε$ por bosones: ${\bar{n}}_{B E} (ε) = 1 / (e^{β (ε - μ)} - 1) \in [0, \infty)$ . Sin límite de ocupación. A $T \to 0$ , si $μ \to 0^{-}$ , todos los bosones colapsan al estado fundamental: condensación de Bose-Einstein.

📐 Fórmulas fundamentales

Gran función de partición

Suma sobre todos los valores de

N

y todos los microestados

r

para cada

N

z = e^{β μ}

es la fugacidad.

Z_{N}

es la función de partición canónica con

N

partículas fijas.

Variables termodinámicas del gran canónico

Análogo a

F = - k_{B} T ln Z

del canónico, aquí

p V = k_{B} T ln Ξ

. Toda la termodinámica se extrae de

ln Ξ

derivando respecto de

β

z

V

Distribuciones cuánticas

+ 1

(fermiones) impone el principio de exclusión:

\bar{n} \leq 1

. El

- 1

(bosones) permite cualquier ocupación. En el límite

e^{β (ε - μ)} ≫ 1

(alta

T

o baja densidad), ambas

\to e^{- β (ε - μ)}

: distribución de Maxwell-Boltzmann.

Temperatura de Fermi y de Bose

T_{F}

: temperatura por encima de la cual los electrones se comportan clásicamente (

T_{F} \sim 10^{4}

K en metales — siempre cuánticos a temperatura ambiente).

T_{B E}

: temperatura de condensación para bosones de masa

m

🎯 Qué hay que entender

✦ Claves del gran ensemble y estadísticas cuánticas

El gran ensemble es matemáticamente más cómodo para partículas cuánticas indistinguibles: la suma sobre $N$ "absorbe" el factorial $N!$ que aparece en el canónico, y las distribuciones de Fermi-Dirac y Bose-Einstein emergen naturalmente.
Para fermiones a $T ≪ T_{F}$ (caso de los electrones en metales), solo los estados cerca de $ε_{F}$ contribuyen a propiedades térmicas — el "mar de Fermi" está completamente lleno y solo los electrones en la "superficie de Fermi" se excitan.
Para bosones, el límite $μ \to 0^{-}$ marca la condensación: por debajo de $T_{B E}$ , una fracción macroscópica de partículas ocupa el estado fundamental (condensado de Bose-Einstein). Es un orden colectivo cuántico.
En el límite clásico ( $z ≪ 1$ ), ambas estadísticas cuánticas coinciden con Maxwell-Boltzmann: $\bar{n} \approx e^{- β (ε - μ)} ≪ 1$ — la ocupación de cada estado es mucho menor que 1.

🧠 Quiz de repaso

← Anterior

Transformadas de Legendre

Síntesis del Curso

Cátedra 19: Gran Ensemble Canónico